Criterio di cauchy per le serie
ciao ragazzi, il criterio di cauchy per le serie arrivato ad un certo punto dice $|sm-sn|n, m=n+p, p in N$ si ha:
$sm-sn= sum_(k = 1)^(m) a_k -sum_(k = 1)^(n) a_k=sum_(k =n+1)^(n+p) a_k$
non capisco la relazione sopra scritta :s
$sm-sn= sum_(k = 1)^(m) a_k -sum_(k = 1)^(n) a_k=sum_(k =n+1)^(n+p) a_k$
non capisco la relazione sopra scritta :s
Risposte
Non sei il solo a non avere capito questa cosa ovvia. Secondo me il problema è che non hai preso l'abitudine, quando sei nel dubbio, a svolgere le sommatorie dalla forma compatta
$sum_{k=1}^m a_k$
alla forma estesa
$a_1+a_2+...+a_m$
che è intuitivamente più significativa.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#377709
$sum_{k=1}^m a_k$
alla forma estesa
$a_1+a_2+...+a_m$
che è intuitivamente più significativa.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#377709
l'ho anche fatto come dici tu. ma non sono sicuro di come sovlgere nella forma estesa la sommatoria che va da n+1 a n+p...
cioè se svolgo la differenza delle 2 sommatorie mi trovo $a_m$ che sarebbe $a_(n+p)$ no? e poi perchè la sommatoria parte da k=n+1 e non da 1??
svolgendo i calcoli mi trovo: $a_1+a_2+a_m - a_1-a_2-a_n =a_m -a_n.$ Essendo$ m=n+p$ ottengo$ a_(n+p)-an$ che non corrisponde alla sommatoria a secondo membro
Ma no, che stai combinando? Scrivi bene:
$S_{n+p}=a_1 + a_2 +... + a_n + a_{n+1}+...+a_{n+p}$
$S_{n}=a_1+a_2+...+a_n$
adesso prendi la differenza: si cancellano tutti i termini da $a_1$ ad $a_n$, cosicché
$S_{n+p}-S_n=a_{n+1}+...+a_{n+p}$.
$S_{n+p}=a_1 + a_2 +... + a_n + a_{n+1}+...+a_{n+p}$
$S_{n}=a_1+a_2+...+a_n$
adesso prendi la differenza: si cancellano tutti i termini da $a_1$ ad $a_n$, cosicché
$S_{n+p}-S_n=a_{n+1}+...+a_{n+p}$.
"dissonance":
Ma no, che stai combinando? Scrivi bene:
$S_{n+p}=a_1 + a_2 +... + a_n + a_{n+1}+...+a_{n+p}$
$S_{n}=a_1+a_2+...+a_n$
adesso prendi la differenza: si cancellano tutti i termini da $a_1$ ad $a_n$, cosicché
$S_{n+p}-S_n=a_{n+1}+...+a_{n+p}$.
grazie ma ecco proprio questo non capisco,ho visto pure nell'altro post, da dove esce il termine $a_(n+1)$0.0 scusa ma nn mi sono mai trovato a fare differenze di sommatorie

Fatti qualche prova con $n$ piccoli, così capisci il caso generale. Per esempio.
Per $n=1, p=1$:
Risultato previsto dalla formula: $S_{n+p}-S_{n}=a_{n+1}+...+a_{n+p}=a_2$.
$S_{1+1}=a_1+a_2$,
$S_1=a_1$.
La differenza è
$S_{1+1}-S_{1}=a_1+a_2-a_1=a_2$,
quindi la formula è corretta.
Rifai con $n=1, p=2$. Se necessario anche con altri numeri, finché non ti sei convinto. Però fallo veramente, affonda proprio le mani in questi conti.
Per $n=1, p=1$:
Risultato previsto dalla formula: $S_{n+p}-S_{n}=a_{n+1}+...+a_{n+p}=a_2$.
$S_{1+1}=a_1+a_2$,
$S_1=a_1$.
La differenza è
$S_{1+1}-S_{1}=a_1+a_2-a_1=a_2$,
quindi la formula è corretta.
Rifai con $n=1, p=2$. Se necessario anche con altri numeri, finché non ti sei convinto. Però fallo veramente, affonda proprio le mani in questi conti.
"dissonance":
Fatti qualche prova con $n$ piccoli, così capisci il caso generale. Per esempio.
Per $n=1, p=1$:
Risultato previsto dalla formula: $S_{n+p}-S_{n}=a_{n+1}+...+a_{n+p}=a_2$.
$S_{1+1}=a_1+a_2$,
$S_1=a_1$.
La differenza è
$S_{1+1}-S_{1}=a_1+a_2-a_1=a_2$,
quindi la formula è corretta.
Rifai con $n=1, p=2$. Se necessario anche con altri numeri, finché non ti sei convinto. Però fallo veramente, affonda proprio le mani in questi conti.
grazie veramente soprattutto per la pazienza,ho capito e ho imparato a fare le "somme"

