Criterio di cauchy per la convergenza
ragazzi ho un esame a breve e non ho capito bene questo criterio che serve per dimostrare la convergenza di una serie ad esempio io lo sto usando per la dimostrazione della serie armonica ma leggendo l ununciato piu volte non riesco ad immaginarmi quello che significa cioè vi posto il criterio
presa una serie $\sum_(k=0)^infty a_k$ è convergente se solo se
per ogni $\epsilon>0$ esiste un $n_\epsilon$ che appartiene hai numeri naturali tale che per ogni $n>n_\epsilon$ e per p=0,1,2,n
risulta $|\sum_(k=n)^(n+p) a_k|=|a_n+a_(n+1)+a_(n+2)+a_(n+p)|<\epsilon$
volevo sapere se questo $\epsilon$ è un numero naturale oppure è una quantità infinitesima poi questo $n_\epsilon$ essendo un numero naturale significa che è un numero qualsiasi dei naturali ??
per quanto riguarda la tesi il senso di scrivere che epsilon deve essere maggiore delle somme parziali significa che la somma deve essere finita a qualche numero ??? cioè vista da un altro punto di vista significa che la somma non deve andare all infinito ???
grazie per i chiarimenti
presa una serie $\sum_(k=0)^infty a_k$ è convergente se solo se
per ogni $\epsilon>0$ esiste un $n_\epsilon$ che appartiene hai numeri naturali tale che per ogni $n>n_\epsilon$ e per p=0,1,2,n
risulta $|\sum_(k=n)^(n+p) a_k|=|a_n+a_(n+1)+a_(n+2)+a_(n+p)|<\epsilon$
volevo sapere se questo $\epsilon$ è un numero naturale oppure è una quantità infinitesima poi questo $n_\epsilon$ essendo un numero naturale significa che è un numero qualsiasi dei naturali ??
per quanto riguarda la tesi il senso di scrivere che epsilon deve essere maggiore delle somme parziali significa che la somma deve essere finita a qualche numero ??? cioè vista da un altro punto di vista significa che la somma non deve andare all infinito ???
grazie per i chiarimenti
Risposte
scrivere $\forall \epsilon>0 $ significa che a priori $epsilon$ può assumere qualsiasi valore grande o piccolo, solitamente si fanno delle verifiche scegliendo valori piccoli ma non è assolutamente indispensabile
come dici tu giustamente la somma deve essere finita perchè $epsilon$ è un qualsiasi numero ma finito
comunque la serie armonica non converge quindi dovrai verificare che non soddisfa tutte le ipotesi per applicare il criterio
come dici tu giustamente la somma deve essere finita perchè $epsilon$ è un qualsiasi numero ma finito
comunque la serie armonica non converge quindi dovrai verificare che non soddisfa tutte le ipotesi per applicare il criterio
walter grazie di avermi risposto perciò se ho capito bene la serie per convergere deve essere preso un valore tale che la somma degli n termini deve essere comunque minore di questo valore. scusami potresti dirmi esplicitamente quali ipotesi deve soddisfare una serie a finche questa converga ?? nel criterio non ci sono limitazioni o richieste particolari da soddisfare ti dice solo di verificare l ultima disuguaglianza se va bene per ogni numero allora la serie e convergete se invece non va bene per ogni numero tipo la serie armonica in quanto $\epsilon>1/2$ allora la serie è divergente
Più precisamente il criterio richiede che per ogni $p\inNN$, $p>=1$ vale $|a_(n+1)+...+a_(n+p)|<\epsilon$.
In altri termini ti dice che, per un opportuno $n$, il valore $p$ può essere fatto crescere a piacere e quella somma (che all'aumentare di $p$ include sempre più termini della serie) rimane finita. Quella somma non è altro che la differenza delle somme parziali $s_(n+p)$ e $s_n$.
Se il modulo di quella differenza rimane finito per tutti i valori di $\epsilon$ (ossia esiste sempre un $n_(\epsilon)$ tale per cui il modulo della somma è inferiore a $\epsilon$ per tutti i naturali maggiori di $n_(\epsilon)$) la serie converge.
Questa richiesta è necessaria e sufficiente: se verificata, infatti, la successione delle somme parziali è una successione di Cauchy; non ci sono altre limitazioni o richieste particolari (mi sembra già abbastanza...).
La serie armonica è divergente non perché $\epsilon>1/2$ ($\epsilon$ è un valore arbitrario) ma perché non esiste $n_(\epsilon)$ per ogni $\epsilon$ tale da soddisfare la disuguaglianza.
Infatti, considerata la somma $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k=1/(n+1)+...+1/(n+p)>=p1/(n+p)$, ponendo $p=n$ risulta $\sum_(k=n+1)^(2n) 1/k>=1/2$ e quindi la condizione del criterio è violata per $\epsilon<=1/2$.
Il che significa che la disuguaglianza $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k<\epsilon$ non è verificata per ogni $p$ se $\epsilon<=1/2$ (preso un qualsiasi valore $n$, la condizione $p=n$ rende falsa la disuguaglianza).
Ergo, la serie diverge.
Spero sia un po' più chiaro...
In altri termini ti dice che, per un opportuno $n$, il valore $p$ può essere fatto crescere a piacere e quella somma (che all'aumentare di $p$ include sempre più termini della serie) rimane finita. Quella somma non è altro che la differenza delle somme parziali $s_(n+p)$ e $s_n$.
Se il modulo di quella differenza rimane finito per tutti i valori di $\epsilon$ (ossia esiste sempre un $n_(\epsilon)$ tale per cui il modulo della somma è inferiore a $\epsilon$ per tutti i naturali maggiori di $n_(\epsilon)$) la serie converge.
Questa richiesta è necessaria e sufficiente: se verificata, infatti, la successione delle somme parziali è una successione di Cauchy; non ci sono altre limitazioni o richieste particolari (mi sembra già abbastanza...).
La serie armonica è divergente non perché $\epsilon>1/2$ ($\epsilon$ è un valore arbitrario) ma perché non esiste $n_(\epsilon)$ per ogni $\epsilon$ tale da soddisfare la disuguaglianza.
Infatti, considerata la somma $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k=1/(n+1)+...+1/(n+p)>=p1/(n+p)$, ponendo $p=n$ risulta $\sum_(k=n+1)^(2n) 1/k>=1/2$ e quindi la condizione del criterio è violata per $\epsilon<=1/2$.
Il che significa che la disuguaglianza $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k<\epsilon$ non è verificata per ogni $p$ se $\epsilon<=1/2$ (preso un qualsiasi valore $n$, la condizione $p=n$ rende falsa la disuguaglianza).
Ergo, la serie diverge.
Spero sia un po' più chiaro...
perche dici
$n_\epsilon>sum_(k=0)^infty a_k $
"dott.ing":questa cosa non lo capita bene poi questo $\epsilon$ deve essere un numero naturale o una quantità infinitesima ???e poi questo $n_\epsilon$ da quanto ho capito è un qualsiasi numero naturale ma perche allora deve essere per forza esplicitato $\epsilon$ nella definizione non si faceva prima a dire preso un qualsiasi numero naturale tale che n e maggiore di questo numero per ogni n appartenente ai naturali ??? e indicando con un qualsiasi numero naturale $n_\epsilon $ quindi si ha che
Quella somma non è altro che la differenza delle somme parziali $s_(n+p)$ e $s_n$.
$n_\epsilon>sum_(k=0)^infty a_k $
leggendo su internet ho trovato una mezza spiegazione cioè uno dice che dato un $\epsilon$ piccolo a piacere.. la serie converge se e solo se ...
è possibile trovare un numero $n_\epsilon$ sufficientemente grande... tale per cui
LA SOMMA DI TUTTI I TERMINI SUCCESSIVI a questo $n_\epsilon$ . . abbia una somma minore (in valore assoluto) di $\epsilon$
cioè da quanto ho capito la serie armonica preso $\epsilon=1/5$ prendendo la serie armonica avremo che 1/10000+1/10001+1/10002... questa sara sicuramente minore di 1/5 ??
è possibile trovare un numero $n_\epsilon$ sufficientemente grande... tale per cui
LA SOMMA DI TUTTI I TERMINI SUCCESSIVI a questo $n_\epsilon$ . . abbia una somma minore (in valore assoluto) di $\epsilon$
cioè da quanto ho capito la serie armonica preso $\epsilon=1/5$ prendendo la serie armonica avremo che 1/10000+1/10001+1/10002... questa sara sicuramente minore di 1/5 ??
"alessandrof10":questa cosa non lo capita bene poi questo $\epsilon$ deve essere un numero naturale o una quantità infinitesima ???[/quote]
perche dici [quote="dott.ing"] Quella somma non è altro che la differenza delle somme parziali $s_(n+p)$ e $s_n$.
La somma parziale $s_(n+p)$ vale $a_1+a_2+...+a_n+a_(n+1)+...+a_(n+p)$, quella $s_n$ vale $a_1+a_2+...+a_n$. Se fai la differenza trovi l'espressione nel modulo.
$\epsilon$ è un qualsiasi numero reale positivo.
"alessandrof10":
e poi questo $n_(\epsilon)$ da quanto ho capito è un qualsiasi numero naturale ma perche allora deve essere per forza esplicitato ε nella definizione non si faceva prima a dire preso un qualsiasi numero naturale tale che n e maggiore di questo numero per ogni n appartenente ai naturali ???
$n_(\epsilon)$ non è un qualsiasi numero naturale... È un numero naturale che dipende da $\epsilon$ tale per cui la relazione $|\sum_(k=n+1)^(n+p) a_k|<\epsilon $ è verificata per ogni $n>n_(\epsilon)$ e per ogni $p inNN^+$.
"alessandrof10":
è possibile trovare un numero $ n_\epsilon $ sufficientemente grande... tale per cui
LA SOMMA DI TUTTI I TERMINI SUCCESSIVI a questo $ n_\epsilon $ . . abbia una somma minore (in valore assoluto) di $ \epsilon $
È la relazione che ho scritto sopra detta a parole.
"alessandrof10":
cioè da quanto ho capito la serie armonica preso $ \epsilon=1/5 $ prendendo la serie armonica avremo che 1/10000+1/10001+1/10002... questa sara sicuramente minore di 1/5 ??
Non capisco da dove hai tirato fuori quei valori...
Ti ho mostrato nel post precedente che se $\epsilon<=1/2$ non c'è alcun naturale $n_(\epsilon)$ tale per cui la relazione $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k<\epsilon $ è verificata per ogni $n>n_(\epsilon)$ e per ogni $p inNN^+$
Vediamola in numeri. Hai scelto $\epsilon=1/5<=1/2$ .
$n=1$. Allora $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k$ con $p=n$ vale $\sum_(k=2)^(2) 1/k=1/2$ che non è minore di $1/5$.
$n=2$. Allora $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k$ con $p=n$ vale $\sum_(k=3)^(4) 1/k=1/3+1/4=7/12$ che non è minore di $1/5$.
E così via...
Infatti ti ho mostrato che $\sum_(k=n+1)^(2n) 1/k$ assume per ogni $n$ valori maggiori o uguali a $1/2$ e quindi mai minori di $\epsilon$ se questo ha valore $1/5$ (o un qualsiasi altro valore in $(0,1/2]$).
grazie dott in quest ultimo post hai chiarito tutti i dubbi come sempre spieghi che è una meraviglia grazie ancora
Lieto di esserti stato di aiuto, Alessandro.
Auguri per domani!
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