Criterio di cauchy

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi nella definizione di cauchy non riesco a capire una cosa cioè cauchy dice che se una successione e convergente a un numero L allora e' di cauchy cioe che fissato un epsilon >0 esiste un N appartenente ai naturali tale che la distanza in modulo dei termini di una successione sia minore di epsilo con n e m maggiori di N scritto in simboli |an-am| N
quello che non capisco e che cosa centra questo N o cosa significhi nell'enunciato e perche n e m devono essere maggiori di questo N di cui non capisco il significato

[garnak.olegovitc1]

"alessandrof10":
quello che non capisco e che cosa centra questo N o cosa significhi nell'enunciato e perche n e m devono essere maggiori di questo N di cui non capisco il significato

sai quando una successione è detta di Cauchy? La definizione insomma

[alessandro.roma.1654]

quando è convergente cioè è un criterio che viene usato per dire se una successione è irregolare (da quanto ho capito ) ma non capisco quel N che cosa significa

[garnak.olegovitc1]

"alessandrof10":quando è convergente cioè è un criterio che viene usato per dire se una successione è irregolare (da quanto ho capito ) ma non capisco quel N che cosa significa

stai facendo confusione, ovvero:

Def.: sia data una successione \(a: \Bbb{N} \to \Bbb{R} \), \(a \text{ è di Cauchy}\) se $$\forall \epsilon >0 (\exists N \in \Bbb{N}(\forall m,n \in \Bbb{N}(m\geq N \wedge n \geq N \to |a_n-a_m|<\epsilon)))$$
la proprietà sarebbe invece:

Prop.: sia data una successione \(a: \Bbb{N} \to \Bbb{R} \), allora $$ a \text{ è di Cauchy} \Leftrightarrow a \text{ è convergente}$$

[alessandro.roma.1654]

si ok ma perche m e n devono essere obbligatoriamente maggiori di un N ?? cioe quella scrittura mi fa capire che comunque sia scelto due valori di m e n questi devono tendere a infinito ????

[garnak.olegovitc1]

"alessandrof10":si ok ma perche m e n devono essere obbligatoriamente maggiori di un N ??

le ragioni profonde/esistenziali non le conosco... per come la penso io "è una definizione"

"alessandrof10":cioe quella scrittura mi fa capire che comunque sia scelto due valori di m e n questi devono tendere a infinito ????

non ti seguo...

[alessandro.roma.1654]

cioe io non posso dire semplicemente che : preso un epsilon >0 |an-am|

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[gugo82]

Ricorda la definizione:

Una successione \((a_n)\) di numeri reali è detta successione di Cauchy se, a partire da un certo indice \(\nu\) in poi, i suoi termini distano l'uno dall'altro meno di una quantità positiva fissata piccola "a piacere", ossia se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu = \nu (\varepsilon) \in \mathbb{N}:\quad n,m\geq \nu \ \Rightarrow\ |a_n-a_m|<\varepsilon \; .
\]

L'indice \(\nu\) (che tu denoti con \(N\)) è proprio l'indice-soglia dal quale in poi riesci a verificare la proprietà "di vicinanza" di Cauchy, i.e. l'implicazione \(n,m\geq \nu\ \Rightarrow\ |a_n-a_m|<\varepsilon\).
Detto in altri termini, che forse comprenderai più in là nei tuoi studi, la proprietà di Cauchy afferma che la successione a due indici \((\alpha_{n,m})\) di termine generale:
\[
\alpha_{n,m} := a_n-a_m
\]
è infinitesima quando entrambi gli indici \(n\) ed \(m\) tendono all'infinito (indipendentemente l'uno dall'altro), cioé che risulta:
\[
\lim_{n,m\to \infty} \alpha_{n,m} = \lim_{n,m\to \infty} a_n-a_m=0\; .
\]

Ad esempio, prendi la successione di termine generale \(a_n=1/n\). Essa è una successione di Cauchy: infatti si ha:
\[
|a_n-a_m| = \left| \frac{1}{n}- \frac{1}{m}\right| \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \leq \frac{2}{\min \{n,m\}}
\]
perciò, scelto \(\varepsilon >0\), risulta \(|a_n-a_m|<\varepsilon\) non appena:
\[
\frac{2}{\min \{n,m\}} <\varepsilon\ \Rightarrow\ \min \{n,m\}>\frac{2}{\varepsilon}
\]
cioé non appena entrambi gli indici \(n\) ed \(m\) risultano maggiori od uguali all'indice-soglia:
\[
\nu =\nu(\varepsilon) = \left\lceil \frac{2}{\varepsilon} \right\rceil
\]
(qui \(\lceil \cdot \rceil\) rappresenta l'arrotondamento intero per eccesso; ad esempio \(\lceil 2.4\rceil = 3\) e \(\lceil 4\rceil = 5\)).
Quindi, la dimostrazione chiarisce che se tu vuoi verificare la proprietà "di vicinanza" di Cauchy a meno di \(\varepsilon = 0.05=\frac{1}{20}\), ossia se vuoi effettivamente trovare che i termini della successione distano tra loro meno di \(0.05\), devi scegliere indici \(n\) ed \(m\) entrambi non più piccoli di \(\nu (0.05)=\lceil 40\rceil =41\). Ad esempio, infatti, hai:
\[
|a_{50} - a_{60} | = \frac{1}{50} - \frac{1}{60} = \frac{1}{300} < \frac{1}{20}=0.05=\varepsilon\; ,
\]
mentre:
\[
|a_{10}-a_{50}| = \frac{1}{10} - \frac{1}{50} = 0.08 \color{red}{>} 0.05 =\varepsilon\; .
\]

[alessandro.roma.1654]

allora per le serie lo capito tranquillamente l enunciato quindi ad esempio se ho capito la serie armonica la cui successione a un carattere che diverge a 1/2 . posto quindi epsilon uguale a 1/2 esce 0.5+0.33+..<0.5 quindi (1/2)+(1/3)...<(1/2) quindi da questa cosa che ho scritto mi dice che la serie in accordo con l'enunciato quindi la serie diverge visto che quello che ho scritto è un assurdo.

ma per le successione ancora non ho capito potresti farmi un altro esempio piu terra terra di due successione una che converge e una che diverge .ad esempio di 1/n che tu hai scritto non capisco quei min(m,n) che vuoi dire ??