Criterio di Abel
Il criterio di Abel ci fornisce dei criteri per stabilire la convergenza uniforme delle serie di potenze.
Ora io so che se la mia serie di potenze ha raggio di convergenza $ \rho > 0 $ e se posto $ x = x_0 + \rho $ converge
anche la mia serie di potenze alla quale vado a sostituire $ x = x_0 + \rho $, per Abel ho convergenza uniforme
in intervalli del tipo $ [x_0 - \rho + \epsilon, x_0 + \rho] $ con $ 0 < \epsilon < rho $.
In un esercizio ho un raggio di convergenza pari a $ \rho = 1 $, dunque ho convergenza assoluta (--> puntuale)
per $ |t| < 1 $, non ho convergenza per $ |t| > 1 $ ed ho convergenza totale per $ |t| <= a < 1 $.
Se pongo t = 1 la mia serie converge, dunque posso applicare Abel. Il risultato dice che per Abel ho convergenza uniforme
in $ [-a,1] $ per $ 0 < a < 1 $. Ora il nostro $ x_0 $ è 0. Quindi a guardare la definizione del criterio direi che la convergenza
uniforme è in $ [-1+a, 1] $. Cosa mi sfugge?
Ora io so che se la mia serie di potenze ha raggio di convergenza $ \rho > 0 $ e se posto $ x = x_0 + \rho $ converge
anche la mia serie di potenze alla quale vado a sostituire $ x = x_0 + \rho $, per Abel ho convergenza uniforme
in intervalli del tipo $ [x_0 - \rho + \epsilon, x_0 + \rho] $ con $ 0 < \epsilon < rho $.
In un esercizio ho un raggio di convergenza pari a $ \rho = 1 $, dunque ho convergenza assoluta (--> puntuale)
per $ |t| < 1 $, non ho convergenza per $ |t| > 1 $ ed ho convergenza totale per $ |t| <= a < 1 $.
Se pongo t = 1 la mia serie converge, dunque posso applicare Abel. Il risultato dice che per Abel ho convergenza uniforme
in $ [-a,1] $ per $ 0 < a < 1 $. Ora il nostro $ x_0 $ è 0. Quindi a guardare la definizione del criterio direi che la convergenza
uniforme è in $ [-1+a, 1] $. Cosa mi sfugge?
Risposte
La domanda è:
Se vale Abel allora c'è convergenza uniforme in $ [x_0 - \rho + \epsilon, x_0 + \rho] $ con $ 0 < \epsilon < \rho $.
Nel mio esercizio $ \rho = 1 $, $ \epsilon = a $, $ x_0 = 0 $. Dunque IO direi che per Abel c'è convergenza uniforme in
$ [-1+a , 1] $, mentre la soluzione UFFICIALE dice $ [-a,1] $. Perché?
Se vale Abel allora c'è convergenza uniforme in $ [x_0 - \rho + \epsilon, x_0 + \rho] $ con $ 0 < \epsilon < \rho $.
Nel mio esercizio $ \rho = 1 $, $ \epsilon = a $, $ x_0 = 0 $. Dunque IO direi che per Abel c'è convergenza uniforme in
$ [-1+a , 1] $, mentre la soluzione UFFICIALE dice $ [-a,1] $. Perché?
Posta l'esercizio completo
Studiare la convergenza puntuale, assoluta e totale della seguente serie di funzioni in campo complesso:
$ f(z) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac {(\|e^z\|- 1)^n}{n} $
Ho posto $ t = \|e^z\| - 1 $ per ricondurmi ad una serie di potenze di centro $ z_0 = 0 $
Ho calcolato il raggio di convergenza che viene $ \rho = 1 $.
Dunque si ha convergenza assoluta, che implica la puntuale, per $ \|t\| < 1 $.
Non si ha convergenza per $ \|t\| > 1 $.
Si ha convergenza totale per $ \|t\| <= a < 1 $
Studio il comportamento agli estremi.
1) Pongo t = 1. Ottengo una serie che converge per Leibniz. Quindi si può usare Abel e dunque converge uniformemente
nell'intervallo che ti ho detto, anche se non so perché.
2) Pongo t = -1. Ottengo una serie che diverge. Quindi non si può usare Abel.
Poi si torna nella variabile z ecc.. ecc..
$ f(z) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac {(\|e^z\|- 1)^n}{n} $
Ho posto $ t = \|e^z\| - 1 $ per ricondurmi ad una serie di potenze di centro $ z_0 = 0 $
Ho calcolato il raggio di convergenza che viene $ \rho = 1 $.
Dunque si ha convergenza assoluta, che implica la puntuale, per $ \|t\| < 1 $.
Non si ha convergenza per $ \|t\| > 1 $.
Si ha convergenza totale per $ \|t\| <= a < 1 $
Studio il comportamento agli estremi.
1) Pongo t = 1. Ottengo una serie che converge per Leibniz. Quindi si può usare Abel e dunque converge uniformemente
nell'intervallo che ti ho detto, anche se non so perché.
2) Pongo t = -1. Ottengo una serie che diverge. Quindi non si può usare Abel.
Poi si torna nella variabile z ecc.. ecc..
Potrei darti una risposta superficiale: come si scriveva nel topic che ti ho segnalato prima, se il raggio di convergenza della sdp e' \(1\) allora hai assicurata la convergenza assoluta in \((-1,1)\) e quella totale nei suoi compatti. Il teorema di Abel ti dice che se riesci a verificare la convergenza sul bordo, allora puoi estendere la convergenza (almeno) uniforme su tutto \([-1,1]\).
Nel tuo caso, verifichi che la convergenza assoluta e' in \((-1,1)\). Dato che per \(x=1\) hai convergenza semplice per Leibniz, puoi estendere la convergenza uniforme nei compatti di \((-1,1]\), i.e. su qualsiasi intervallo \([\xi,1]\), con \(\xi > -1\).
Nel tuo caso, verifichi che la convergenza assoluta e' in \((-1,1)\). Dato che per \(x=1\) hai convergenza semplice per Leibniz, puoi estendere la convergenza uniforme nei compatti di \((-1,1]\), i.e. su qualsiasi intervallo \([\xi,1]\), con \(\xi > -1\).
Aaah, ok, chiaro, grazie 
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