Criterio dell'ordine di infinitesimo, serie di funzioni
Sto studiando le serie di funzioni e sto facendo esercizi; non riesco a capire com'è svolto un esercizio poiché, inoltre, non conosco il famigerato "criterio degli infinitesimi" per le serie di funzioni.
Questa è la traccia:
Studiare la convergenza totale su \(\displaystyle ]0,+\infty[ \) della serie:
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \;arctg\Big(\frac{n^2e^{x^2-1}}{\sqrt(x)}\Big)\frac{(n-1)log(n^2-1)}{n^{5/2}} \)
Svolgimento:
poiché \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}\setminus\{0,1\} \) e \(\displaystyle \forall x \in ]0,+\infty[ \)
\(\displaystyle \Big|arctg\Big(\frac{n^2e^{x^2-1}}{\sqrt(x)}\Big)\frac{(n-1)log(n^2-1)}{n^{5/2}}\Big| \leq \frac{\pi}{2}\frac{(n-1)log(n^2-1)}{n^{5/2}} \)
basta dimostrare che
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(n-1)log(n^2-1)}{n^{5/2}} \) è convergente.
A tal fine si può applicare il criterio degli infinitesimi.
Sia \(\displaystyle 1<\alpha<\frac{3}{2}\) e studiamo \(\displaystyle n^{\alpha}\frac{(n-1)log(n^2-1)}{n^{5/2}}\backsim\frac{n^{\alpha+1}}{n^{5/2}}=\frac{1}{n^{5/2-\alpha-1}} \stackrel{n}{\longrightarrow} 0 \) poiché \(\displaystyle \frac{5}{2}-\alpha-1 > 0 \)
Mi è tutto chiarissimo tranne l'ultima parte. Vorrei che qualcuno mi spiegasse le ultime due righe, possibilmente spiegandomi il criterio degli infinitesimi. Grazie
Questa è la traccia:
Studiare la convergenza totale su \(\displaystyle ]0,+\infty[ \) della serie:
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \;arctg\Big(\frac{n^2e^{x^2-1}}{\sqrt(x)}\Big)\frac{(n-1)log(n^2-1)}{n^{5/2}} \)
Svolgimento:
poiché \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}\setminus\{0,1\} \) e \(\displaystyle \forall x \in ]0,+\infty[ \)
\(\displaystyle \Big|arctg\Big(\frac{n^2e^{x^2-1}}{\sqrt(x)}\Big)\frac{(n-1)log(n^2-1)}{n^{5/2}}\Big| \leq \frac{\pi}{2}\frac{(n-1)log(n^2-1)}{n^{5/2}} \)
basta dimostrare che
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(n-1)log(n^2-1)}{n^{5/2}} \) è convergente.
A tal fine si può applicare il criterio degli infinitesimi.
Sia \(\displaystyle 1<\alpha<\frac{3}{2}\) e studiamo \(\displaystyle n^{\alpha}\frac{(n-1)log(n^2-1)}{n^{5/2}}\backsim\frac{n^{\alpha+1}}{n^{5/2}}=\frac{1}{n^{5/2-\alpha-1}} \stackrel{n}{\longrightarrow} 0 \) poiché \(\displaystyle \frac{5}{2}-\alpha-1 > 0 \)
Mi è tutto chiarissimo tranne l'ultima parte. Vorrei che qualcuno mi spiegasse le ultime due righe, possibilmente spiegandomi il criterio degli infinitesimi. Grazie
Risposte
Inoltre il problema si ripresenta quando devo trattare quest'altra serie, come fare ad applicare il criterio dell'ordine di infinitesimo?
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{log(2nx+1)}{(nx)^{2}+n} \)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{log(2nx+1)}{(nx)^{2}+n} \)
Alla fin fine, se guardi bene, per risolvere il tuo problema basta stabilire cosa succede alla serie:
\[
\sum \frac{\ln n}{n^\alpha}
\]
al variare di \(\alpha\in \mathbb{R}\)... Cosa che si può fare senza troppi patemi.
Prova.
\[
\sum \frac{\ln n}{n^\alpha}
\]
al variare di \(\alpha\in \mathbb{R}\)... Cosa che si può fare senza troppi patemi.
Prova.
Ecco ci sono andato vicino! Ho già dimostrato per conto mio che il termine generale di questa serie da te proposta è infinitesimo per \(\displaystyle n \rightarrow +\infty \) e \(\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R}_+ \). Ma questo equivale a dire che è soddisfatta soltanto la condizione necessaria per la convergenza, giusto?
E' per questo che sono confuso. L'unico mio riferimento per una convergenza certa è il confronto con la serie armonica generalizzata con esponente \(\displaystyle \alpha > 1 \) che so essere convergente. Ma devo praticamente mostrare che il termine generale di questa serie e' minore di quello di una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1. Nella pratica questo si traduce col fatto che devo trovare \(\displaystyle \alpha \) e dimostrare che sia maggiore di 1, che credo che sia ciò che vien fatto nei passaggi da me scritti ma che non ho capito.
Vorrei un paio di dritte su questa questione, e inoltre non ho mai sentito, né sui miei appunti è presente (però sulle tracce c'è!), questo criterio dell'ordine di infinitesimo e (a meno che io non lo confonda con uno dei due criteri di confronto per la convergenza delle serie) vorrei saperne l'enunciato.
E' per questo che sono confuso. L'unico mio riferimento per una convergenza certa è il confronto con la serie armonica generalizzata con esponente \(\displaystyle \alpha > 1 \) che so essere convergente. Ma devo praticamente mostrare che il termine generale di questa serie e' minore di quello di una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1. Nella pratica questo si traduce col fatto che devo trovare \(\displaystyle \alpha \) e dimostrare che sia maggiore di 1, che credo che sia ciò che vien fatto nei passaggi da me scritti ma che non ho capito.
Vorrei un paio di dritte su questa questione, e inoltre non ho mai sentito, né sui miei appunti è presente (però sulle tracce c'è!), questo criterio dell'ordine di infinitesimo e (a meno che io non lo confonda con uno dei due criteri di confronto per la convergenza delle serie) vorrei saperne l'enunciato.
Per Criterio dell'Ordine d'Infinitesimo s'intende il seguente teorema:
Nota che dire:
\(a_n\) è infinitesima d'ordine superiore ad un ordine \(\alpha >1\)
significa che "esiste almeno un numero \(\alpha >1\) tale che \(a_n =\text{o}(1/n^\alpha)\)", ed è più generale che dire:
\(a_n\) è infinitesima d'ordine \(\alpha >1\),
che equivale a "esiste un \(\alpha >1\) tale che \(a_n\approx \frac{1}{n^\alpha}\)", perché \(a_n\) può essere (ed in molti casi è) un'infinitesimo non dotato di ordine rispetto ad \(1/n\).
***
Ad esempio, la successione di termine generale:
\[
a_n:= \frac{\ln n}{n^a}
\]
è infinitesima per \(a >0\), ma non è dotata di ordine rispetto a \(1/n\); si vede che \(a_n\) è infinitesima d'ordine superiore ad ogni \(0<\alpha
Infatti per quanto appena detto, se \(a>1\), si può sempre prendere un \(\alpha \in ]1,\alpha[\) (e.g., si può fissare \(\alpha = \frac{1+\alpha}{2}\)) tale che \(a_n=\text{o}(1/n^\alpha)\) sicché si ricade nel primo caso del teorema precedente; mentre se \(a\leq 1\) si può fissare \(\alpha =1\) e così si ricade nel secondo caso.
Sia \(\sum a_n\) una serie a termini positivi (o non negativi, che è lo stesso).
Se \(a_n\) è infinitesima d'ordine superiore ad un ordine \(\alpha >1\), allora \(\sum a_n\) converge.
Se, invece, \(a_n\) è infinitesima d'ordine inferiore ad \(1\), allora \(\sum a_n\) diverge.
Nota che dire:
\(a_n\) è infinitesima d'ordine superiore ad un ordine \(\alpha >1\)
significa che "esiste almeno un numero \(\alpha >1\) tale che \(a_n =\text{o}(1/n^\alpha)\)", ed è più generale che dire:
\(a_n\) è infinitesima d'ordine \(\alpha >1\),
che equivale a "esiste un \(\alpha >1\) tale che \(a_n\approx \frac{1}{n^\alpha}\)", perché \(a_n\) può essere (ed in molti casi è) un'infinitesimo non dotato di ordine rispetto ad \(1/n\).
***
Ad esempio, la successione di termine generale:
\[
a_n:= \frac{\ln n}{n^a}
\]
è infinitesima per \(a >0\), ma non è dotata di ordine rispetto a \(1/n\); si vede che \(a_n\) è infinitesima d'ordine superiore ad ogni \(0<\alpha
Infatti per quanto appena detto, se \(a>1\), si può sempre prendere un \(\alpha \in ]1,\alpha[\) (e.g., si può fissare \(\alpha = \frac{1+\alpha}{2}\)) tale che \(a_n=\text{o}(1/n^\alpha)\) sicché si ricade nel primo caso del teorema precedente; mentre se \(a\leq 1\) si può fissare \(\alpha =1\) e così si ricade nel secondo caso.
Tutto perfettamente chiaro! Grazie 
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