Criterio della radice
Salve a tutti, qualcuno potrebbe darmi un consiglio con questo esercizio:
Sia $a_n = ((2n)!)/(n!)^\alpha$ , studiare
1) $\lim_{n \to \infty}a_(n+1)/a_n$
2) $\lim_{n \to \infty}root(n)a_n$ per $\alpha = 2$
Il primo è molto facile e quindi lasciamolo perdere, per $\alpha=2$ il limite vale 4, quindi anche il limite in 2) deve valere 4.
Solo che la soluzione del prof usa una catena di disuguaglianze sulla definizione di limite e quindi mi chiedevo se si potesse trovare una soluzione "analitica":
Io sono arrivato a $root(n)(((2n)!)/(n!)^2)=root(n)((2n(2n-1)(2n-2)...(n+1))/(n!))$ , ora non so più come continuare, devo forse raccogliere $2n$ ? Però non mi sembra di arrivare da nessuna parte
Sia $a_n = ((2n)!)/(n!)^\alpha$ , studiare
1) $\lim_{n \to \infty}a_(n+1)/a_n$
2) $\lim_{n \to \infty}root(n)a_n$ per $\alpha = 2$
Il primo è molto facile e quindi lasciamolo perdere, per $\alpha=2$ il limite vale 4, quindi anche il limite in 2) deve valere 4.
Solo che la soluzione del prof usa una catena di disuguaglianze sulla definizione di limite e quindi mi chiedevo se si potesse trovare una soluzione "analitica":
Io sono arrivato a $root(n)(((2n)!)/(n!)^2)=root(n)((2n(2n-1)(2n-2)...(n+1))/(n!))$ , ora non so più come continuare, devo forse raccogliere $2n$ ? Però non mi sembra di arrivare da nessuna parte
Risposte
Ti conviene usare la formula di Stirling direttamente, senza semplificare.
È uscito, grazie anche per l'approssimazione, non la conoscevo e tornerà sicuramente utile in futuro, l'esercizio valeva 10 punti e la formula me l'ha fatto risolvere in 3 passaggi
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