Criterio della radice
Ciao ragazzi,
stavo leggendo su un testo un esercizio svolto.
Chiede di verificare l'eventuale convergenza della serie:
$sum_(n = \1)^(\oo ) [6^n((n-3)/n)^((n)^2)]$
Il testo, svolgendo l'esercizio, dice: "Sul fatto che la serie sia a termini positivi non ci sono dubbi."
Ed è quì invece che si sbaglia (sul fatto dei dubbi). Se pongo n=1, la serie non assumerebbe un valore negativo? $-12<0$
stavo leggendo su un testo un esercizio svolto.
Chiede di verificare l'eventuale convergenza della serie:
$sum_(n = \1)^(\oo ) [6^n((n-3)/n)^((n)^2)]$
Il testo, svolgendo l'esercizio, dice: "Sul fatto che la serie sia a termini positivi non ci sono dubbi."
Ed è quì invece che si sbaglia (sul fatto dei dubbi). Se pongo n=1, la serie non assumerebbe un valore negativo? $-12<0$
Risposte
Ciao! Si in effetti per $n=1$ il termine generale è negativo, ma dato che la convergenza dipende dal comportamento che il termine generale ha all'infinito (quindi possiamo supporre $n$ grande) non ti interessa il caso $n=1$. In questi casi per essere precisi si dice che la serie è definitivamente a termini positivi. In pratica:
$\sum_{n=1}^{+\infty}6^n(\frac{n-3}{n})^{n^2}=-12+\sum_{n=2}^{+\infty}6^n(\frac{n-3}{n})^{n^2}$
dunque per mostrare la convergenza (o la divergenza) della serie iniziale, è sufficiente mostrare la convergenza (o la divergenza) della serie
$\sum_{n=2}^{+\infty}6^n(\frac{n-3}{n})^{n^2}$
che è a termini positivi.
$\sum_{n=1}^{+\infty}6^n(\frac{n-3}{n})^{n^2}=-12+\sum_{n=2}^{+\infty}6^n(\frac{n-3}{n})^{n^2}$
dunque per mostrare la convergenza (o la divergenza) della serie iniziale, è sufficiente mostrare la convergenza (o la divergenza) della serie
$\sum_{n=2}^{+\infty}6^n(\frac{n-3}{n})^{n^2}$
che è a termini positivi.
Grazie!
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