Criterio del rapporto - teorema -

[Sk_Anonymous]

Ciao, sto studiando il teorema del CRITERIO DEL RAPPORTO riguardo i limiti di successioni.
Quello che non capisco è perchè il libro specifica che il limite "l" a cui tende il rapporto delle due successioni debba essere minore di 1.
Se consideriamo una successione decrescente e facciamo il rapporto fra il termine successivo e quello precedente della successione, come è detto nel teorema, si vede chiaramente che tale rapporto si avvicina sempre più a 1, senza mai giungervi. Quindi mi sembra logico dire che il limite di tale rapporto è 1. Invece perchè bisogna dire che il limite è minore di 1?
Anche la successione $1/n$, per $n$ tendente all'infinito, si avvicina sempre più a 0, senza mai toccarlo, e si pone che il suo limite è 0. E allora perchè questo teorema dice che il limite deve essere minore di 1?

Il teorema a cui mi riferisco è questo
http://www.math.unipd.it/~motta/Didatti ... pporto.pdf

insomma, quello che voglio dire è che per valori di n sempre più grandi il rapporto si avvicina sempre più ad 1, quindi è logico che il limite sia 1

[dissonance]

"Soscia":Se consideriamo una successione decrescente e facciamo il rapporto fra il termine successivo e quello precedente della successione, come è detto nel teorema, si vede chiaramente che tale rapporto si avvicina sempre più a 1, senza mai giungervi.

Questo è un brutto scherzo che ti sta giocando l'intuizione: ciò che tu vedi "chiaramente" è falso. Prendi per esempio la successione $1/(n!)$: forma il rapporto tra due termini successivi e vedi cosa succede.

Anche la successione $1/n$, per $n$ tendente all'infinito, si avvicina sempre più a 0, senza mai toccarlo, e si pone che il suo limite è 0. E allora perchè questo teorema dice che il limite deve essere minore di 1?

Quello segnato in rosso è un errore, molto grave. Non "si pone" il limite uguale a $0$, semmai si calcola che il limite vale $0$. Poi non capisco il tuo turbamento. La serie $sum 1/n$ è il più classico degli esempi di serie rispetto alla quale il criterio del rapporto non fornisce informazioni.

[Sk_Anonymous]

Ciao, allora io non sono un matematico, ma sono solo un semplice studente che cerca di capire, quindi cose che per voi sono ovvie per me non lo sono. Dopo aver letto il teorema che sta nel link, essendo la successione a(n) strettamente decrescente, ne deduco che il termine a(n+1) avrà un valore più basso rispetto al termine "che sta sopra", cioè a(n), quindi ne deduco che il loro rapporto è sicuramente minore di 1 (al massimo può essere uguale a 1, ma essendo la successione STRETTAMENTE DECRESCENTE, non può che essere minore di 1). Inoltre, siccome la successione a(n) converge al limite 0, è ovvio che essa, per n sempre più grandi, tenda ad "appiattirsi" graficamente, con la conseguenza che il rapporto tra a(n+1) e a(n) aumenta sempre di più, ma resta sempre inferiore a 1. Quindi, se io chiamo b(n) la successione a(n+1)/a(n), ne deduco che b(n) ha come limite 1, in quanto essa si avvicinerà sempre più a 1 senza "mai toccarlo". Il teorema, invece, dice che il limite è minore di 1, e questo non mi è chiaro.
Grazie per l'aiuto

[dissonance]

Ti ripeto che la tua argomentazione, che intuitivamente ti sembra corretta, non lo è in realtà e ti porta ad un risultato falso. Tu pretendi che per ogni successione $a_n$ sia $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1$, ma questo è falso e ti invito nuovamente a riflettere sul controesempio che citavo nel mio post precedente.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Ti ripeto che la tua argomentazione, che intuitivamente ti sembra corretta, non lo è in realtà e ti porta ad un risultato falso. Tu pretendi che per ogni successione $a_n$ sia $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1$, ma questo è falso e ti invito nuovamente a riflettere sul controesempio che citavo nel mio post precedente.

io non pretendo che per ogni successione $a_n$ sia $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1$, ma che per ogni successione $a_n$ strettamente decrescente sia valido quel limite, invece il teorema dice che se la successione è decrescente e converge a 0, allora ${a_{n+1}}/{a_n}$ tende a un limite minore di $1$ e non a $1$.

Allora, ricapitoliamo un attimo. Il teorema del link dice: Sia an una successione a termini positivi. Se la successione ${a_{n+1}}/{a_n}$
converge ad un limite $l< 1$, allora la successione $a_n$ è strettamente decrescente e converge a zero. Quello che non mi è chiaro è: se considero una successione strettamente decrescente e convergente a 0, come $a_n=1/n$, il quoziente ${a_{n+1}}/{a_n}$ tende a $1$, quindi il limite è $1$, come fa a essere $<1$?
Potete farmi un esempio di una successione $a_n$ tale che ${a_{n+1}}/{a_n}$ tenda a un limite minore di 1?

[dissonance]

"Soscia":Potete farmi un esempio di una successione $a_n$ tale che ${a_{n+1}}/{a_n}$ tenda a un limite minore di 1?

Ma se non sto facendo altro dall'inizio del thread! La tua congettura è falsa e lo dimostra il controesempio $a_n=\frac{1}{n!}$.

[magda1789]

secondo me interpreti il teorema con l'implicazione inversa che è falsa in generale... quando il limite del rapporto vale 1 non puoi concludere, applicalo a: 1/n , n^a , o anche a una successione costante.