Criterio del rapporto per successioni
Potete spiegarmi perché nel dimostrare il criterio del rapporto dice di "applicare il teorema della permanenza del segno" a 1-bn?
Sapendo che an è a termini positivi, quando creo la successione 1-bn = 1-(an+1)/(an), perché dovrei imporre che tutta la successione "1-bn" è maggiore di zero?
Sapendo che an è a termini positivi, quando creo la successione 1-bn = 1-(an+1)/(an), perché dovrei imporre che tutta la successione "1-bn" è maggiore di zero?
Risposte
Ciao maxira,
Da un utente con più di 95 messaggi ci si attenderebbe una maggiore aderenza alle regole del forum, il che include lo scrivere i post correttamente con le formule, evitando di inserire immagini che poi con l'andare del tempo spariscono rendendo "monco" il post e poco leggibile per gli altri utenti del forum.
Non crei alcuna successione, perché hai definito $b_n := \frac{a_{n + 1}}{a_n} $, per cui è evidente che $1 - b_n = 1 - \frac{a_{n + 1}}{a_n} $
L'ipotesi è che $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} b_n = b < 1 \implies \lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{a_{n + 1}}{a_n}) = \lim_{n \to +\infty} (1 - b_n) = 1 - b > 0 $
(dato che $b < 1 $). Quindi per il teorema della permanenza del segno $EE \nu : 1 - b_n > 0 \quad \AA n > \nu \implies b_n < 1 \implies \frac{a_{n + 1}}{a_n} < 1 \implies a_{n + 1} < a_n \quad \AA n > \nu $
Comunque il criterio del rapporto per le successioni io l'ho visto dimostrato in questo modo.
Da un utente con più di 95 messaggi ci si attenderebbe una maggiore aderenza alle regole del forum, il che include lo scrivere i post correttamente con le formule, evitando di inserire immagini che poi con l'andare del tempo spariscono rendendo "monco" il post e poco leggibile per gli altri utenti del forum.
"maxira":
Potete spiegarmi perché nel dimostrare il criterio del rapporto dice di "applicare il teorema della permanenza del segno" a 1-bn?
Sapendo che an è a termini positivi, quando creo la successione 1-bn = 1-(an+1)/(an), perché dovrei imporre che tutta la successione "1-bn" è maggiore di zero?
Non crei alcuna successione, perché hai definito $b_n := \frac{a_{n + 1}}{a_n} $, per cui è evidente che $1 - b_n = 1 - \frac{a_{n + 1}}{a_n} $
L'ipotesi è che $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} b_n = b < 1 \implies \lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{a_{n + 1}}{a_n}) = \lim_{n \to +\infty} (1 - b_n) = 1 - b > 0 $
(dato che $b < 1 $). Quindi per il teorema della permanenza del segno $EE \nu : 1 - b_n > 0 \quad \AA n > \nu \implies b_n < 1 \implies \frac{a_{n + 1}}{a_n} < 1 \implies a_{n + 1} < a_n \quad \AA n > \nu $
Comunque il criterio del rapporto per le successioni io l'ho visto dimostrato in questo modo.
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