Criterio del rapporto per le successioni: dimostrazione
Secondo me va bene! Personalmente avrei detto più sbrigativamente che se \(\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = l > 1\) allora si ha che, definitivamente, \(a_{n+1} > k \cdot a_n, \,\,\, 1 < k < l\), quindi la successione è, sempre definitivamente, minorata dalla successione \(a_n = k^{n-m} a_m\) per qualche \(m\), la quale ovviamente diverge.
Che ne pensi?
Che ne pensi?
Risposte
Si mi pare giusto a parte una piccola cosetta.
Se $(a_{n+1})/(a_n)$ converge ad $l>1$,
allora hai che fissato $01$)
esiste $N$ tale che per ogni $n>N$ hai $|(a_{n+1} )/(a_n)-l|
che ti produce $-varepsilon<(a_{n+1})/(a_n)-l
$a_{n+k}>a_n(l-varepsilon)^k$ per ogni $k>=0$.
Quindi quello che dici mi pare giusto a parte che $a_{n+1}=k a_n$ che invece è $a_{n+1}>k a_n$.
Se $(a_{n+1})/(a_n)$ converge ad $l>1$,
allora hai che fissato $0
esiste $N$ tale che per ogni $n>N$ hai $|(a_{n+1} )/(a_n)-l|
che ti produce $-varepsilon<(a_{n+1})/(a_n)-l
$a_{n+k}>a_n(l-varepsilon)^k$ per ogni $k>=0$.
Quindi quello che dici mi pare giusto a parte che $a_{n+1}=k a_n$ che invece è $a_{n+1}>k a_n$.
La parte relativa alla divergenza si può enunciare anche così:
se $a_n > 0$ per ogni $n$ e $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1$ definitivamente, allora la serie $\sum_n a_n$ diverge a $+\infty$.
(Questa condizione è ovviamente soddisfatta se $\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$.)
La dimostrazione è immediata: se $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1$ per ogni $n\ge N$, allora $a_n \ge a_N > 0$ per ogni $n\ge N$, dunque il termine generale della serie non può convergere a $0$; essendo la serie a termini positivi, risulta dunque che diverge a $+\infty$.
se $a_n > 0$ per ogni $n$ e $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1$ definitivamente, allora la serie $\sum_n a_n$ diverge a $+\infty$.
(Questa condizione è ovviamente soddisfatta se $\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$.)
La dimostrazione è immediata: se $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1$ per ogni $n\ge N$, allora $a_n \ge a_N > 0$ per ogni $n\ge N$, dunque il termine generale della serie non può convergere a $0$; essendo la serie a termini positivi, risulta dunque che diverge a $+\infty$.
Ciao Sergio!!
Ho il piacere di risponderti:
proprio a te che,
con la generosità d'animo che traspare dal modo che hai di di trasferire la tua conoscenza
(e farà tanto pure il fatto che c'hai messo quella bella faccia onesta..),
hai risvegliato in me il vecchio convincimento di prima Gioventù che in ogni matematico dovesse necessariamente esserci un gentiluomo.
Non che sia tornato a quella benedetta(o maledetta..)ingenuità:
ma certo il mio rapporto con la Matematica è tornato accettabile da quando,grazie a te,
ho preso a frequentare questo forum,
e magari è un primo passo per far tornare buono quello coi suoi sacerdoti..
Andiamo alle cose tecniche ora,
e t'inizio col dire che io ho osservato come ${a_n}_(ninNN)subeRR^+text{^}EElim_(n->oo)a_(n+1)/a_nin(1,+oo)text{(Hp)}rArr$
$rArr{1/a_n}_(ninNN)subeRR^+text{^}EElim_(n->oo)a_n/a_(n+1)=lim_(n->oo)(1/a_(n+1))/(1/a_n)=1/lin(0,1)rArrEElim_(n->oo)1/a_n=0rArr$
(applicando la parte di teorema che ti ritrovi negli appunti a ${1/a_n}_(ninNN)$)
$rArrEElim_(n->oo)|a_n|=+oorArrEElim_(n->oo)a_n=+oo$
(vista l'hp che ${a_n}_(ninNN)$ è a termini positivi potremo infatti dire che $|a_n|=a_n$ $AAninNN$):
scusa se ho giustificato davvero tutto,
ma hai tanto spirito didattico e capisci subito perchè l'ho fatto.
Saluti dal web
(e grazie..).
Ho il piacere di risponderti:
proprio a te che,
con la generosità d'animo che traspare dal modo che hai di di trasferire la tua conoscenza
(e farà tanto pure il fatto che c'hai messo quella bella faccia onesta..),
hai risvegliato in me il vecchio convincimento di prima Gioventù che in ogni matematico dovesse necessariamente esserci un gentiluomo.
Non che sia tornato a quella benedetta(o maledetta..)ingenuità:
ma certo il mio rapporto con la Matematica è tornato accettabile da quando,grazie a te,
ho preso a frequentare questo forum,
e magari è un primo passo per far tornare buono quello coi suoi sacerdoti..
Andiamo alle cose tecniche ora,
e t'inizio col dire che io ho osservato come ${a_n}_(ninNN)subeRR^+text{^}EElim_(n->oo)a_(n+1)/a_nin(1,+oo)text{(Hp)}rArr$
$rArr{1/a_n}_(ninNN)subeRR^+text{^}EElim_(n->oo)a_n/a_(n+1)=lim_(n->oo)(1/a_(n+1))/(1/a_n)=1/lin(0,1)rArrEElim_(n->oo)1/a_n=0rArr$
(applicando la parte di teorema che ti ritrovi negli appunti a ${1/a_n}_(ninNN)$)
$rArrEElim_(n->oo)|a_n|=+oorArrEElim_(n->oo)a_n=+oo$
(vista l'hp che ${a_n}_(ninNN)$ è a termini positivi potremo infatti dire che $|a_n|=a_n$ $AAninNN$):
scusa se ho giustificato davvero tutto,
ma hai tanto spirito didattico e capisci subito perchè l'ho fatto.
Saluti dal web
(e grazie..).
Ups! Chiedo scusa. Avendo letto rapidamente, mi era sembrato si stesse parlando del criterio del rapporto per le serie (in effetti bastava leggere attentamente il titolo del thread).
"Sergio":
Grazie a tutti! ..
@theras: onestamente non riesco a capire bene quello che dici, ma mi pare di non esserti antipatico, quindi grazie anche di questo
Se ti è ermetico l'italiano è fatto di proposito
(me ne dolgo,ma ancora non è il tempo,se mai potrà arrivare,
d'esser chiaro sulle ragioni razionali della mia simpatia per te e quella per questo forum che ne è stata conseguenza..),
però non vorrei che ad essere oscuro sia il "matematichese";
in tal caso forse è il caso che io dica d'aver voluto intendere che,
se la tua successione a termini positivi soddisfa per l>1 le ipotesi del criterio da te citato,
allora quella dei suoi reciproci soddisferà le ipotesi della parte del teorema che hai ritrovato:
sifatta "successione reciproca" sarà dunque infinitesima,
e pertanto quella di partenza è infinitamente grande e dunque,essendo essa a termini positivi,divergerà positivamente.
Saluti dal web.
"Sergio":
$a_{n+1}=ka_n$, ma $a_{n+1}>ka_n$.
No Sergio, perchè la prima scrittura implica che $a_n=k^n a_0$ (ho supposto di partire da ero per semplicità di notazione ma sarebbe con uno shift di indici se la relazione vale definitivamente).
Invece la struttura di crescenza (in termini geometrici) della successione non è fissa.
Pensa ad $a_0=1$;
$a_1=1.9 \ a_0$;
$a_2=1.99 \ a_1$
$a_3=1.999 \ a_2$,
...
no puoi scrivere la tua relazione perchè il $k$ non è costante.
Potresti dire $a_{n+1}=k_n \ a_n$ dove $k_n>=k>1$ che però poi ti produce gli stessi risultati della disugusaglianza di partenza.
"Sergio":
Il motivo per cui "non mi piace" $a_{n+1}>ka_n$ è che $k$ potrebbe anche essere uguale a $1$...
non se $lim_{n to infty} (a_{n+1})/(a_n) >1$
ovveo da un certo N in poi non lo è più.
Pensa ad l=2 come nell'esempio. Se prendo $N$ come uno di quelli che soddisfa la condizione di limite con $varepsilon=1/2$
per ogni n>N non sarà mai 1
Si Sergio se vuoi ci puoi mettere anche $k=0$ o negativo visto che la successione è strettamente positiva....
la condizione sul limite ti permette di dire che, definitivamente, riusciamo a trovare un $k>1$
ovvero devi essere in grado di esibire un k>1
la condizione sul limite ti permette di dire che, definitivamente, riusciamo a trovare un $k>1$
ovvero devi essere in grado di esibire un k>1
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo