Criterio del rapporto per le successioni:
Buon pomeriggio, volendo applicare il suddetto teorema alle successioni $n $ e $n^2$ ottengo che: $a_n=n/n^2$ e $b_n=(a_(n+1))/a_n$ ottengo: $(n+1)/(n+1)^2/(n)/n^2$ $-> $ $n/(n+1)^2 * n^2/n$ poi dovrei trovarmi un limite$ b<0$ per il teorema, ma non riesco ad andare avanti... Gentilmente potreste delucidarmi a riguardo?=(
Risposte
purtroppo il criterio del rapporto per successioni con quelle particolari successioni li non funziona, un quanto
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} \frac{n+1}{n}\cdot\frac{n^2}{(n+1)^2}=1
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} \frac{n+1}{n}\cdot\frac{n^2}{(n+1)^2}=1
\end{align*}
Ah e quindi come faccio ad avere la certezza che n^2 è "molto più veloce" di n? c'è un altro criterio?
confronto tra infiniti: se vuoi saper chi va "più veloce" all'infinito tra $n^2$ e $n$ devi calcolare il limite
\begin{align*} \lim_{n\to +\infty} \frac{n}{n^2} = \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}=0 \end{align*}
dunque $n^2$ è infinito di ordine superiore ad $n$
\begin{align*} \lim_{n\to +\infty} \frac{n}{n^2} = \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}=0 \end{align*}
dunque $n^2$ è infinito di ordine superiore ad $n$
Giusto! un'ultima domanda, conoscendo la potenza della media geometrica e aritmetica, come faccio a sapere quando devo applicarli?cioè se mi trovo un esercizio davanti, come so che devo applicare quei precisi teoremi?
non ho capito bene la domanda, cosa vuol dire la potenza della media geometrica e aritmetica?
Con potenza intendevo la grande utilità dei due teoremi..
dipende da caso a caso, l'importante è averli presenti ed a portata di mano! ad esempio, prova a calcolare
\[\lim_{n\to+\infty} \left [\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n\cos\left({2\pi -\frac{1}{k}}\right) \right ]\]
\[\lim_{n\to+\infty} \left [\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n\cos\left({2\pi -\frac{1}{k}}\right) \right ]\]
Non ho idea di come procedere O.O
be i teoremi sulla media aritmetica, che citavi prima
Consideriamo la successione
\[a_n= \cos\left(2\pi- \frac{1}{n}\right)\]
essa è convegente, infatti:
\[\lim_{n \to +\infty}a_n= \lim_{n \to \infty} \cos\left(2\pi- \frac{1}{n}\right)=1;\]
allora sappiamo che la successione $\lambda_n$ della media aritmetica dei termini di $a_n$ converge allo stesso limite di $a_n$: allora
\[\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\cdot a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left[\sum_{k=1}^n \cos(2\pi- \frac{1}{k})\right ]=1 \]
P.s. Era questo il risultato potente sulle medie aritmetiche cui facevi riferimento vero?
Consideriamo la successione
\[a_n= \cos\left(2\pi- \frac{1}{n}\right)\]
essa è convegente, infatti:
\[\lim_{n \to +\infty}a_n= \lim_{n \to \infty} \cos\left(2\pi- \frac{1}{n}\right)=1;\]
allora sappiamo che la successione $\lambda_n$ della media aritmetica dei termini di $a_n$ converge allo stesso limite di $a_n$: allora
\[\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\cdot a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left[\sum_{k=1}^n \cos(2\pi- \frac{1}{k})\right ]=1 \]
P.s. Era questo il risultato potente sulle medie aritmetiche cui facevi riferimento vero?
Non ho capito l'ultimo passaggio, ma hai preso in pieno ciò che intendevo prima!!!!
l'ultimo passaggio ho applicato il seguente risultato
\[\mbox{Se la successione } \,\,\, a_n \,\,\,\mbox{converge ad $l,$ (che può essere sia un numero reale sia $\pm \infty$), allora posto:}\]
\[\lambda_n=\frac{1}{n}\cdot \sum_{k=1}^{n}\,\,\,a_k,\qquad\mbox{allora anche } \,\,\, \lambda_n\to l \]
\[\mbox{Se la successione } \,\,\, a_n \,\,\,\mbox{converge ad $l,$ (che può essere sia un numero reale sia $\pm \infty$), allora posto:}\]
\[\lambda_n=\frac{1}{n}\cdot \sum_{k=1}^{n}\,\,\,a_k,\qquad\mbox{allora anche } \,\,\, \lambda_n\to l \]
Si ma se al posto di 1/n vi era un'altra successione era lo stesso?
e no il teorema parla chiaro, deve essere la media aritmentica dei termini della successione, cioè
\[\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_k \]
\[\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_k \]
Giusto, grazie mille!
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