Criterio del rapporto, criterio della radice

[Matteos86]

Come dimostrare:

1) $lim_(n->+oo) (a(n+1))/(a(n))=eta$

se $IetaI>1$ $a(n)->oo$
se $IetaI<1$ $a(n)->l$
se $IetaI=1$ $a(n)->?$

e

2) $lim_(n->+oo) (a(n+1))/(a(n))=eta=lim_(n->+oo) (a(n))^(1/n)$

[Luca.Lussardi]

Per la 1) osserva che se $\eta>1$, allora esiste $c>1$ ed esiste $n_0$ tale per cui $a(n+1)>ca(n)$ per ogni $n \geq n_0$. Ma allora $a(n_0+1)>ca(n_0)$, $a(n_0+2)>c^2a(n_0)$, ecc..... essendo $c>1$, $c^k \to +\infty$.

Con la stessa idea mostri le altre.

[Matteos86]

se $eta<1$?

cioè vuoi dire che da un certo indice in poi esiste un costante $c>1$ tale che per $c->+oo, a(n)->+oo$?

[Luca.Lussardi]

No, non devi far tendere $c$ a $+\infty$; ti viene che $a(n)>c^(k(n))a(n_0)$ per ogni $n >n_0$, dove $k(n) \to +\infty$. Essendo $c>1$ si ha la tesi.

Per il secondo caso la cosa è analoga, poichè se $c<1$, $c^(k(n)) \to 0$ (devi però usare una disuguaglianza opposta).

[Matteos86]

cioè se ho capito se $eta>1$ ciò indica che la successione è crescente, se $eta<1$ decresce, ma come dimostro che quando la successione è crescente non è limitata?oppure quando la successione è decrescente è limitata?

[Matteos86]

nessuno mi sà rispondere?

[giuseppe87x]

2) Per il teorema sul limite della successione delle medie geometriche si ha che se $a_(n)$ è a termini positivi e regolare allora
$lima_(n)=limrootn(a_(1)*a_(2)*...*a_(n))$ e analogamente $lima_(n+1)=limroot(n+1)(a_(1)*a_(2)*...*a_(n)*a_(n+1))$, dividendo e utilizzando il teorema sul limite del rapporto si ha la tesi.