Criterio del rapporto
Salve ragazzi. Non avendo lo svolgimento sul libro volevo chiedervi se secondo voi il ragionamento ( e lo svolgimento ) per la determinazione del carattere della serie sono esatti.
Il testo è:
$\sum_{n=0}^\infty$ $n^(n+1)/((n-1)!)$
Ho applicato il criterio del rapporto:
$\lim_{n \to \infty} ((n+1)^(n+2)/(n!))* (((n-1)!)/n^(n+1))$
Il ragionamento è esatto? Ora però dovrei risolvere quel limite, magari scomponendo.
$(n-1)!$ potrei scriverlo come $n(n-2)!$ ? Così magari da eliminare al primo denominatore il simbolo di fattoriale e qui eliminare l'$n$ iniziale. Senò come potrei fare?
Il testo è:
$\sum_{n=0}^\infty$ $n^(n+1)/((n-1)!)$
Ho applicato il criterio del rapporto:
$\lim_{n \to \infty} ((n+1)^(n+2)/(n!))* (((n-1)!)/n^(n+1))$
Il ragionamento è esatto? Ora però dovrei risolvere quel limite, magari scomponendo.
$(n-1)!$ potrei scriverlo come $n(n-2)!$ ? Così magari da eliminare al primo denominatore il simbolo di fattoriale e qui eliminare l'$n$ iniziale. Senò come potrei fare?
Risposte
Quel limite lo puoi riscrivere così:
$\lim_{n\to+\infty}{(n-1)!}/{n!}\cdot(n+1)\cdot({n+1}/{n})^{n+1}$
e dovrebbe essere abbastanza veloce da risolvere.
$\lim_{n\to+\infty}{(n-1)!}/{n!}\cdot(n+1)\cdot({n+1}/{n})^{n+1}$
e dovrebbe essere abbastanza veloce da risolvere.
Il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti
$\lim_{n \to \infty} ((n-1)!)/(n!)$ $*$ $\lim_{n \to \infty}(n+1)$ $*$ $\lim_{n \to \infty} ((n+1)/n)^(n+1)$
Il secondo è $+oo$, il terzo so che è $e$. Ma il primo?
P.s.
Domanda teorica: posso applicare alla stessa serie più di una volta lo stesso criterio o due/tre/quattro criteri consecutivamente?
$\lim_{n \to \infty} ((n-1)!)/(n!)$ $*$ $\lim_{n \to \infty}(n+1)$ $*$ $\lim_{n \to \infty} ((n+1)/n)^(n+1)$
Il secondo è $+oo$, il terzo so che è $e$. Ma il primo?
P.s.
Domanda teorica: posso applicare alla stessa serie più di una volta lo stesso criterio o due/tre/quattro criteri consecutivamente?
per il primo limite scomponi $n!$
$n! =n\cdot(n-1)!$ per definizione....
Perfetto, ora ho capito. Viene $e$, poichè nel secondo termine ho messo in comune $n(1+1/n)$ per scomporre e viene $1*1*e$.
Altra serie particolare, un po' infame:
$\sum_{n=0}^\infty (n/2 sen1/n)^((n^2+1)/(n+2))$
Ho applicato il criterio del rapporto ed effettuato svariate operazioni all'esponente, fino a raggiungere una forma:
$\sum_{n=0}^\infty (n/2 sen1/n)^((1+1/n)/(1+2/n))$
Così facendo ho '' annullato '' l'esponente rendendolo 1. Però non so come andare oltre.
Altra serie particolare, un po' infame:
$\sum_{n=0}^\infty (n/2 sen1/n)^((n^2+1)/(n+2))$
Ho applicato il criterio del rapporto ed effettuato svariate operazioni all'esponente, fino a raggiungere una forma:
$\sum_{n=0}^\infty (n/2 sen1/n)^((1+1/n)/(1+2/n))$
Così facendo ho '' annullato '' l'esponente rendendolo 1. Però non so come andare oltre.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo