Criterio del confronto per le serie numeriche (teoria)

[pcnf16]

Salve a tutti ragazzi. Spero che la mia domanda non sia duplicata, ho provato a cercare sul forum domande simili ma non ne ho trovate. Ho appena iniziato lo studio delle serie numeriche e in particolare modo sono fermo al criterio di confronto. Il criterio in sé è abbastanza chiaro e semplice da applicare ma l'unica cosa che mi sta facendo impazzire è capire come ricavare il termine di confronto. Poiché negli esercizi svolti ed esempi non viene posta grandissima attenzione a questo aspetto, non sono riuscito a capire effettivamente come definire correttamente il termine. A tale scopo posto alcuni esempi ricavati da esercizi e esempi svolti che sto cercando di utilizzare per superare questo ostacolo. In generale, esistono degli step da seguire per ricavare il termine di confronto oppure, come mi è sembrato, l'importante è scegliere un termine che soddisfi il criterio e riconducibile generalmente ad una serie armonica/geometrica ?
Di seguito alcuni esempi, a destra c'è la serie data e a sinistra il termine proposto per il confronto.

$ \sum_{n=1}^{+\infty} arctan^n n/(n2^n) <= (pi/4)^n $

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (2^n + 3)/(3^n - 2) >= (2/3)^n $

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (1 - cos n)/n^3 $ da cui $ 0<=(1 - cos n)/n^3<= (2/n^3) $

Messa così mi risulta un pò difficile capire quale sia il modo corretto di procedere. Chiarimenti sulla base di questi esempi o in generale? Grazie.

[pilloeffe]

Ciao pcnf16,

Mi sa che c'è qualche problemino oltre a qualche passaggio saltato...
Cominciamo dalla prima. Dato che per $n >= 1 \implies arctan n <= \pi/2 $, si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} arctan^n n/(n2^n) <= \sum_{n=1}^{+\infty} arctan^n n/(2^n) <= \sum_{n=1}^{+\infty} (\pi/2)^n/(2^n) <= \sum_{n=1}^{+\infty} (\pi/4)^n $

Dato che l'ultima scritta è una serie geometrica di ragione $\pi/4 < 1 $ privata del primo termine, ne consegue la convergenza della serie proposta.
Per la seconda serie proposta quanto scritto è inutile, perché si vuole dimostrare le convergenza della serie (cosa che effettivamente è vera) quindi userei qualcosa del tipo

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (2^n + 3)/(3^n - 2) <= \sum_{n=1}^{+\infty} (3(2^n + 3))/3^n = 3 \sum_{n=1}^{+\infty} (2/3)^n + 9 \sum_{n=1}^{+\infty}1/3^n $

Le due ultime serie scritte sono ancora serie geometriche di ragione $ < 1 $ private del primo termine, da cui consegue la convergenza della serie proposta.
Per quanto riguarda l'ultima serie proposta è corretto quanto hai scritto dopo il "da cui" che invece non significa nulla... Dato che sappiamo che $ \AAn \in \NN $ è vero che $ -1 <= cos(n) <= 1 $, allora si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (1 - cos n)/n^3 <= \sum_{n=1}^{+\infty} 2/n^3 = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^3 $

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3 > 1 $, notoriamente convergente: per il criterio del confronto ne consegue la convergenza della serie proposta.

[pcnf16]

Grazie per la risposta. Purtroppo i passaggi saltati non dipendono da me, ho solo riportato gli esempi che stavo cercando di utilizzare per capirci qualcosa e purtroppo non ci sono passaggi ulteriori rispetto a quelli da me riportati. In ogni caso grazie per la risposta, i passaggi intermedi già mi aiutano a capire di più anche se, sarò onesto, ancora faccio fatica a capire l'esatto ragionamento da seguire (in generale) e alcuni punti del tuo ragionamento. Potresti gentilmente dettagliare il perché $ n >= 1 \implies arctan n <= \pi/2 $? Probabilmente al momento mi sfugge e, per la prima, che fine fa la n al denominatore nel secondo passaggio? Gli altri passaggi sono chiari. Per la seconda, come si ottiene il secondo passaggio? (più che altro vorrei capire la strategia adottata) e stesso discorso per il coseno. Perché, come suppongo, l'hai considerato uguale a -1? In generale, quello che ancora non mi è ben chiaro è se c'è dietro una tecnica "standard" da seguire per risolvere questo tipo di problemi. Grazie.

[pilloeffe]

"pcnf16":Grazie per la risposta.

Prego.

"pcnf16":Potresti gentilmente dettagliare il perché $ n>=1 \implies arctan n <= \pi/2 $?

Certamente. Beh, basta che dai un'occhiata al grafico della funzione $ arctan(x) $ per $x > 0 $ e tieni presente che $lim_{x \to +\infty} arctan(x) = \pi/2 $

"pcnf16":[...] che fine fa la $n $ al denominatore nel secondo passaggio?

Mi dava fastidio e l'ho eliminata, è una maggiorazione. D'altronde lascia per un attimo perdere il simbolo di serie: dovresti essere d'accordo sul fatto che $\AA n \in \NN_{>0} $ si ha:

$ arctan^n n/(n2^n) <= arctan^n n/(2^n) $

"pcnf16": Per la seconda, come si ottiene il secondo passaggio?

Sempre una maggiorazione: se si divide per una quantità più piccola si ottiene una quantità più grande... Non è difficile mostrare che $\AA n \in \NN_{>0} $ si ha:

$ 3^n/3 = 3^(n -1) <= 3^n - 2 $

E' la prima che mi è venuta in mente, ma non escludo se ne possano trovare altre...

"pcnf16": [...] e stesso discorso per il coseno. Perché, come suppongo, l'hai considerato uguale a -1?

Sempre una maggiorazione... Ho fatto uso proprio di ciò che tu stesso hai scritto:

"pcnf16":$ 0<=(1 - cos n)/n^3<= (2/n^3) $

Da tale disuguaglianza segue

$ 0 <= \sum_{n=1}^{+\infty} (1 - cos n)/n^3 <= \sum_{n=1}^{+\infty} 2/n^3 = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^3 = 2\zeta(3) ~~ 2,404 $

"pcnf16":In generale, quello che ancora non mi è ben chiaro è se c'è dietro una tecnica "standard" da seguire per risolvere questo tipo di problemi.

Sì, c'è. La tecnica è quella delle maggiorazioni se si vuole dimostrare che la serie proposta è convergente, è quella delle minorazioni se si vuole dimostrare che la serie proposta è divergente. Un esempio per quest'ultimo caso: la serie $ \sum_{n=2}^{+\infty} 1/ln(n) $ è divergente perché $ln(n) < n \implies 1/ln(n) > 1/n $ e quindi si ha:

$ \sum_{n=2}^{+\infty} 1/ln(n) > \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n $

L'ultima serie scritta è la serie armonica privata del primo termine, notoriamente divergente: si conclude che la serie proposta è divergente.

[pcnf16]

Ciao pilloeffe, mi scuso se riprendo questo thread. Ho ripreso lo studio delle serie in maniera più "attiva" e devo dire che i tuoi esempi sono stati davvero utili e mi hanno aiutato a procedere speditamente nei primi esercizi che ho provato a svolgere. Vorrei però riportare alcuni esercizi per fissare meglio le idee:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} logn/n^3 $ poiché $a_n~ 1/n^3$ confronto la serie data con la serie generalizzata $ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^3 $ che diverge e quindi anche la serie di partenza diverge. Il passaggio dalla serie data a quella di confronto è corretto?

In modo abbastanza analogo, data la serie:

$ \sum_{n=n}^{+\infty} (log^2n+1)/(nlog^2n+n^2logn) $ posso dire che $ a_n~ log^2n/(n^2logn)=logn/n^2 $. Fino a questo passaggio, mi ritrovo con la soluzione proposta dall'eserciziario. Successivamente però ho proceduto in maniera diversa e analoga alla serie precedente ovvero confrontando la serie di partenza con la serie generalizzata $ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^2 $ che converge e quindi converge anche quella di partenza.

Infine avrei un dubbio circa la definizione formale di serie armonica generalizzata. Nella definizione generale, cosi come in molti esempi dove viene usata insieme al criterio del confronto, l'indice n parte sempre da 1 mentre sia sull'eserciziario che negli stessi esempi da te mostrati nel post precedente l'indice non sempre parte da 1. è corretto, in ogni caso? Grazie.

[pilloeffe]

Ciao pcnf16,

No, entrambe le serie proposte sono convergenti per il criterio del confronto. Per la seconda serie proposta l'indice non può partire da $n = 1 $, altrimenti il denominatore si annullerebbe: quindi si può ritenere che parta da $n = 2 $.

[pcnf16]

Hai ragione, svista mia. Per la questione dell’indice non mi riferivo alle serie proposte ma ad un contesto generico ovvero chiedevo se l’indice di una serie generalizzata debba partire sempre da 1 o possa variare a seconda dei casi. Per quanto riguarda invece le due serie proposte, errore a parte, l’obiettivo era capire se formalmente e logicamente il criterio del confronto è stato applicato correttamente oppure no, dato che come già sottolineato (per la seconda serie in particolare), l’eserciziario propone un termine diverso da quello da me usato per il confronto.

[pilloeffe]

"pcnf16":chiedevo se l’indice di una serie generalizzata debba partire sempre da 1 o possa variare a seconda dei casi.

Non importa, tanto dovresti sapere che il comportamento di una serie non cambia se si aggiungono o si tolgono un numero finito di termini.

"pcnf16":Per quanto riguarda invece le due serie proposte, errore a parte, l’obiettivo era capire se formalmente e logicamente il criterio del confronto è stato applicato correttamente oppure no

Per il logaritmo avrei considerato che dalla diseguaglianza $log x <= x $, ponendo $x := n^{\alpha} $ si ha $log(n^{\alpha}) <= n^{\alpha} \implies \alpha log n <= n^{\alpha} $ e quindi $\AA \alpha > 0 $ si ha:

$log n <= 1/\alpha n^{\alpha} $

Poi avrei applicato il criterio del confronto.

[gugo82]

"pcnf16":
$ \sum_{n=1}^{+\infty} logn/n^3 $ poiché $a_n~ 1/n^3$ [...]

Ma anche no.

"pcnf16":In modo abbastanza analogo, data la serie:

$ \sum_{n=n}^{+\infty} (log^2n+1)/(nlog^2n+n^2logn) $ posso dire che $ a_n~ log^2n/(n^2logn)=logn/n^2 $. Fino a questo passaggio, mi ritrovo con la soluzione proposta dall'eserciziario. Successivamente però ho proceduto in maniera diversa e analoga alla serie precedente ovvero confrontando la serie di partenza con la serie generalizzata $ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^2 $ che converge e quindi converge anche quella di partenza.

Stesso errore di sopra.

"pcnf16":Infine avrei un dubbio circa la definizione formale di serie armonica generalizzata. Nella definizione generale, cosi come in molti esempi dove viene usata insieme al criterio del confronto, l'indice n parte sempre da 1 mentre sia sull'eserciziario che negli stessi esempi da te mostrati nel post precedente l'indice non sempre parte da 1. è corretto, in ogni caso?

Sì, ovvio.
Privare una serie di un numero finito di addendi non ne altera il carattere.

[pcnf16]

Quale sarebbe, quindi, il modo corretto di procedere?

[gugo82]

La successione di termine generale $(log n)/n^3$ non è asintoticamente equivalente a $1/n^3$, perché $lim ((log n)/n^3)/(1/n^3) = lim log n = +oo$; da ciò segue che $(logn)/n^3$ è un infinitesimo d'ordine inferiore ad $1/n^3$, quindi non ha senso confrontare la tua serie con quella armonica generalizzata di esponente $3$.

Tuttavia il calcolo esplicito:
\[
\lim \frac{\frac{\log n}{n^3}}{\frac{1}{n^\alpha}} = \lim n^{\alpha -3}\ \log n = \begin{cases} 0 &\text{, se } 0< \alpha <3\\ +\infty &\text{, se } \alpha \geq 3\end{cases}
\]
to dice che $(logn)/n^3$ è infinitesimo d'ordine superiore rispetto ogni $1/n^\alpha$ con $alpha <3$; puoi allora scegliere un qualsiasi esponente $1

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[pcnf16]

Ciao gugo82, grazie per la dettagliata risposta. Avrei però un ulteriore domanda: sarebbe corrette, in alternativa, valutare la convergenza di $ (log n)/n^3 $ utilizzando il criterio degli infinitesimi?

[gugo82]

Perché, scusa, quello che ho fatto sopra cosa ti sembra?