Criterio del confronto per gli integrali

[Pittul]

Ciao, sto cercando di risolvere questo integrale
$ int_(root(3)(3) )^(+oo ) (x^6-6x^3+9)^(-alpha) dx $
e non ci riesco, dovrei provare con il criterio del confronto?
Per ora ho provato così:
$ int (x^6-6x^3+9)^(-alpha) dx = int (x^3-3)^(-2alpha) $
e poi ho tentato varie sostituzioni, come $ x^3 = u $ per poi integrare per parti, ma per colpa di quell'$alpha$ i calcoli si complicano tantissimo e non riesco ad andare avanti.
Grazie mille in anticipo

PS il testo dell'esercizio chiede di trovare il valore di $alpha$ per cui la funzione converge
- $ 1/6 - $ 1/6 - $ 0 - $ 0

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Risposte

cooper1

13 gen 2017, 17:45

inquesti esercizi si devono valutare i punti (all'interno degli estremi di integrazione considerati ) i punti di discontinuità della funzione e eventualmente i punti all'infinito.
qui la funzione è discontinua per $x=3^(1/3)$. in un intorno di questo punto $ f(x) ~ 1/(x^3-3)^(2alpha) $ che converge quando $alpha < 1/2$
in un intorno di infinito invece si ha che $ f(x) ~ 1/x^(6alpha) $ che invece converge per $alpha > 1/6$
metti tutto insieme e hai finito

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Pittul

13 gen 2017, 18:10

Ma quindi devo fare il limite della funzione che tende prima a $ 3^(1/2) $ e poi a $ +oo $? E in base a cosa vedi il valore di $ alpha $?

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cooper1

13 gen 2017, 18:28

il valore corretto è $x=3^(1/3)$ correggo anche il messaggio prima che mi è scappato il 2 (dove cioè il denominatore si annulla).
e si devi capire il comportamento della funzione quando la x si avvicina a quei valori.
per $alpha$ ho usato la teoria della convergenza di integrali (che è poi in sostanza la stessa delle serie). quindi hai che:
1. se hai un intorno finito[/u ]$ f_alpha=1/(|t|^alpha) $ converge se e solo se $alpha < 1$
2. se hai un intorno infinito[/u ]$ f_alpha=1/(|t|^alpha) $ converge se e solo se $alpha > 1$

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Pittul

14 gen 2017, 16:47

Se ho capito bene il procedimento è questo:

1. fare i limiti per $ 3^(1/3) $ (che annulla la parentesi) e per $ +oo $
2. se il limite è finito l'esponente deve essere $ > 1 $, se è infinito l'esponente deve essere $ < 1 $
[/list:u:3af9v2lu]
Quindi
per $ x -> 3^(1/3) $ il limite è infinito, quindi $ 2alpha < 1 -> alpha < (1/2) $
per $ x -> +oo $ il limite è finito perché fa 0, quindi ... qui non ho ben capito da dove viene l'esponente $ 6alpha $. Hai eliminato il -3 perché è irrilevante e hai fatto $ (x^3)^(2alpha) = x^(6alpha) $. E visto che il limite è finito l'esponente deve essere $ > 1 $ quindi $ 6alpha > 1 -> alpha > (1/6) $.
E' tutto giusto?
Scusa per tutte queste domande, ma non ho per niente le idee chiare!

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cooper1

14 gen 2017, 21:05

"Pittul":se il limite è finito l'esponente deve essere >1, se è infinito l'esponente deve essere <1

no se l'intorno è finito $<1$, se è infinito $>1$.
fai attenzione poi: non il limite ma l'intorno! non c'entra a cosa tende la funzione ma a che intorno consideriamo.
nel primo caso l'intorno è di $3^(1/3)$. è quindi un intorno finito. la funzione è asintotica a $1/((x^3-3)^(2alpha))$ che quindi converge per $2alpha < 1$
in un intorno di infinito (intorno per l'appunto infinito) la funzione è asintotica a $1/((x^3)^(2alpha)) = 1/x^(6alpha)$. converge quindi se $6alpha > 1$

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Pittul

15 gen 2017, 14:36

Grazie mille, sei stato gentilissimo!

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[cooper1]

inquesti esercizi si devono valutare i punti (all'interno degli estremi di integrazione considerati ) i punti di discontinuità della funzione e eventualmente i punti all'infinito.
qui la funzione è discontinua per $x=3^(1/3)$. in un intorno di questo punto $ f(x) ~ 1/(x^3-3)^(2alpha) $ che converge quando $alpha < 1/2$
in un intorno di infinito invece si ha che $ f(x) ~ 1/x^(6alpha) $ che invece converge per $alpha > 1/6$
metti tutto insieme e hai finito

[Pittul]

Ma quindi devo fare il limite della funzione che tende prima a $ 3^(1/2) $ e poi a $ +oo $? E in base a cosa vedi il valore di $ alpha $?

[cooper1]

il valore corretto è $x=3^(1/3)$ correggo anche il messaggio prima che mi è scappato il 2 (dove cioè il denominatore si annulla).
e si devi capire il comportamento della funzione quando la x si avvicina a quei valori.
per $alpha$ ho usato la teoria della convergenza di integrali (che è poi in sostanza la stessa delle serie). quindi hai che:
1. se hai un intorno finito[/u ]$ f_alpha=1/(|t|^alpha) $ converge se e solo se $alpha < 1$
2. se hai un intorno infinito[/u ]$ f_alpha=1/(|t|^alpha) $ converge se e solo se $alpha > 1$

[Pittul]

Se ho capito bene il procedimento è questo:

1. fare i limiti per $ 3^(1/3) $ (che annulla la parentesi) e per $ +oo $
2. se il limite è finito l'esponente deve essere $ > 1 $, se è infinito l'esponente deve essere $ < 1 $
[/list:u:3af9v2lu]
Quindi
per $ x -> 3^(1/3) $ il limite è infinito, quindi $ 2alpha < 1 -> alpha < (1/2) $
per $ x -> +oo $ il limite è finito perché fa 0, quindi ... qui non ho ben capito da dove viene l'esponente $ 6alpha $. Hai eliminato il -3 perché è irrilevante e hai fatto $ (x^3)^(2alpha) = x^(6alpha) $. E visto che il limite è finito l'esponente deve essere $ > 1 $ quindi $ 6alpha > 1 -> alpha > (1/6) $.
E' tutto giusto?
Scusa per tutte queste domande, ma non ho per niente le idee chiare!

[cooper1]

"Pittul":se il limite è finito l'esponente deve essere >1, se è infinito l'esponente deve essere <1

no se l'intorno è finito $<1$, se è infinito $>1$.
fai attenzione poi: non il limite ma l'intorno! non c'entra a cosa tende la funzione ma a che intorno consideriamo.
nel primo caso l'intorno è di $3^(1/3)$. è quindi un intorno finito. la funzione è asintotica a $1/((x^3-3)^(2alpha))$ che quindi converge per $2alpha < 1$
in un intorno di infinito (intorno per l'appunto infinito) la funzione è asintotica a $1/((x^3)^(2alpha)) = 1/x^(6alpha)$. converge quindi se $6alpha > 1$

[Pittul]

Grazie mille, sei stato gentilissimo!