Criterio del confronto asintotico per successioni a segno alterno
Buongiorno a tutti,
Fra due giorni ho l'esame di Analisi 2. Nell'esercitarmi in vista di questo esame mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
"Dire per quali valori di $ x\in \mathbb{R} $ la seguente serie:
$ sum_(n = 0)^infty \frac {x^{n}}{3^{n}+4n} $
converge."
Ovviamente per $ x > 0 $ ho usato il criterio del confronto asintotico dicendo che quindi la serie converge per $ x in [0, 3) $. Per $ x < 0 $ ho detto che dato che la serie converge assolutamente in $ (-3, 0] $ allora converge anche semplicemente in tale intervallo concludendo che quindi la serie converge per $ x in (-3, 3) $. Tuttavia per $ x < -3 $ non so come muovermi in quanto scrivendo la serie come una serie di Liebnitz non ricavo nulla (il criterio di Liebnitz mi dice che "se la successione è strettamente decrescente allora la serie converge semplicemente" ma non mi dice che cosa fa la serie se la successione non è strettamente decrescente). Cosa posso dire quindi della serie quando $x in (- infty , -3) $?
EDIT: Ho risolto questa parte dicendo che viene a mancare la condizione necessaria e quindi la serie non può convergere
Tuttavia il mio problema è di carattere più generale. Nella mia mente ho l'dea che dato che il termine generale della successione è asintotico alla progressione geometrica (cioè
$ (x^n) / (3^n + 4n) ~ (x/3)^n $ per $ n -> + infty $ )
allora le serie associate hanno lo stesso comportamento indifferentemente dal segno. Tuttavia non ho nessun teorema e nessuna dimostrazione che mi giustifichi questo. L'idea che ho è vera?
L'idea si basa sull'intuizione secondo cui: dato che al crescere di $ n $ la successione data "assomiglia" sempre più alla successione geometrica allora anche le due serie avranno un comportamento simile (ovviamente non intendo uguale).
Se mi chiarite questo dubbio ve ne sarei eternamente grato dato che sono 2 ore che mi ci sto sfasciando la testa!
Fra due giorni ho l'esame di Analisi 2. Nell'esercitarmi in vista di questo esame mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
"Dire per quali valori di $ x\in \mathbb{R} $ la seguente serie:
$ sum_(n = 0)^infty \frac {x^{n}}{3^{n}+4n} $
converge."
Ovviamente per $ x > 0 $ ho usato il criterio del confronto asintotico dicendo che quindi la serie converge per $ x in [0, 3) $. Per $ x < 0 $ ho detto che dato che la serie converge assolutamente in $ (-3, 0] $ allora converge anche semplicemente in tale intervallo concludendo che quindi la serie converge per $ x in (-3, 3) $. Tuttavia per $ x < -3 $ non so come muovermi in quanto scrivendo la serie come una serie di Liebnitz non ricavo nulla (il criterio di Liebnitz mi dice che "se la successione è strettamente decrescente allora la serie converge semplicemente" ma non mi dice che cosa fa la serie se la successione non è strettamente decrescente). Cosa posso dire quindi della serie quando $x in (- infty , -3) $?
EDIT: Ho risolto questa parte dicendo che viene a mancare la condizione necessaria e quindi la serie non può convergere
Tuttavia il mio problema è di carattere più generale. Nella mia mente ho l'dea che dato che il termine generale della successione è asintotico alla progressione geometrica (cioè
$ (x^n) / (3^n + 4n) ~ (x/3)^n $ per $ n -> + infty $ )
allora le serie associate hanno lo stesso comportamento indifferentemente dal segno. Tuttavia non ho nessun teorema e nessuna dimostrazione che mi giustifichi questo. L'idea che ho è vera?
L'idea si basa sull'intuizione secondo cui: dato che al crescere di $ n $ la successione data "assomiglia" sempre più alla successione geometrica allora anche le due serie avranno un comportamento simile (ovviamente non intendo uguale).
Se mi chiarite questo dubbio ve ne sarei eternamente grato dato che sono 2 ore che mi ci sto sfasciando la testa!
Risposte
ATTENZIONE: i teoremi di confronto (e quindi anche i teoremi di confronto asintotico) valgono solo per serie a termini positivi. Un esempio facile è la serie
\[\sum (-1)^n \frac 1 n \]
che converge pur avendo il termine generale asintoticamente equivalente al termine generale di una serie divergente.
\[\sum (-1)^n \frac 1 n \]
che converge pur avendo il termine generale asintoticamente equivalente al termine generale di una serie divergente.
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