Criterio del confronto asintotico per le serie
Buongiorno,
Devo studiare la convergenza della serie
$\sum_{n=1}^{+\infty}\sin^2\left(\frac1n\right)$.
La mia ipotesi era di convergenza, confrontando la serie con
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}$.
Il limite del rapporto è 1 (dal limite notevole), quindi le serie hanno stesso carattere e la serie è convergente.
Per avere un confronto, ho controllato il risultato utilizzando wolfram alpha, che però mi dice che la serie è divergente.
Qualcuno più ferrato sull’argomento mi indica cosa c’è di sbagliato nel mio ragionamento? Oppure se è sbagliato il risultato dato da wolfram, un po’ ci spero
Devo studiare la convergenza della serie
$\sum_{n=1}^{+\infty}\sin^2\left(\frac1n\right)$.
La mia ipotesi era di convergenza, confrontando la serie con
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}$.
Il limite del rapporto è 1 (dal limite notevole), quindi le serie hanno stesso carattere e la serie è convergente.
Per avere un confronto, ho controllato il risultato utilizzando wolfram alpha, che però mi dice che la serie è divergente.
Qualcuno più ferrato sull’argomento mi indica cosa c’è di sbagliato nel mio ragionamento? Oppure se è sbagliato il risultato dato da wolfram, un po’ ci spero
Risposte
Ciao nicola6,
Non capisco perché affermi che è sbagliato il risultato dato da WolframAlpha, a me dice che è convergente:
https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+sin%5E2%281%2Fn%29%2C+n+%3D+1++to+%2Binfty
D'altronde si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} sin^2(1/n) < \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
"nicola6":
Qualcuno più ferrato sull’argomento mi indica cosa c’è di sbagliato nel mio ragionamento? Oppure se è sbagliato il risultato dato da wolfram
Non capisco perché affermi che è sbagliato il risultato dato da WolframAlpha, a me dice che è convergente:
https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+sin%5E2%281%2Fn%29%2C+n+%3D+1++to+%2Binfty
D'altronde si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} sin^2(1/n) < \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
"pilloeffe":
Non capisco perché affermi che è sbagliato il risultato dato da WolframAlpha, a me dice che è convergente:
https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+sin%5E2%281%2Fn%29%2C+n+%3D+1++to+%2Binfty
Mmmm con un input leggermente diverso mi dice che diverge… non saprei
https://www.wolframalpha.com/input?i=su ... 281%2Fn%29
Comunque grazie mille a entrambi!
"nicola6":
Mmmm con un input leggermente diverso mi dice che diverge… non saprei
https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+from+1+to+%2Binfty+sin%5E2%281%2Fn%29
Mi sa che hai beccato un bug del software...
Lo segnali tu a Stephen Wolfram o provvedo io?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo