Criterio del confronto asintotico per integrali impropri (teoria)

[suppatruppa]

Buonasera a tutti, torno a scrivere per cercare di avere una mano da qualcuno non riuscendo proprio a cavarmela da solo.

Dire che non ci ho capito nulla sul criterio del titolo è dire poco, non riesco a figurarmelo nemmeno intuitivamente e quindi poi passare al rigore.
Il mio libro scrive questo piccolo paragrafo:



(c'è poi una appendice dimostrativa ma non riuscendo a capirlo prima intuitivamente non mi sono ancora cimentato nella lettura)

Ho cercato risposte online ma anche qui trovo spiegazioni che non mi aiutano



Anzi ora non riesco a far combaciare la scrittura del libro con questa, ad esempio non capisco perché il libro faccia distinzione tra a>1 e a<1 e rispetto alla seconda immagine cosa cambierebbe? Mi sembran due spiegazioni diversissime, non riesco a raccapezzarmici minimamente.

Spero in un vostro aiuto il più dettagliato possibile, vorrei proprio capire.

[anto_zoolander]

La dimostrazione dovrebbe essere abbastanza chiarificatrice
Per esempio se esiste $alpha inRR$ per cui. $f~ 1/x^(alpha),x->+infty$
Con $f>0$

Allora definitivamente $1-epsilon0$

Quindi si ottiene $0
$int_(c)^(+infty)1/x^alphadx=x^(1-alpha)/(1-alpha)|_(c)^(+infty)$

Quindi se $alpha>1$ converge quindi per confronto converge anche il primo.

La cosa è identica de $f(x)x^alpha->0$

Se capisci questa, le altre sono analoghe.

[suppatruppa]

Direi molto meglio, grazie mille. Ho capito il legame con alpha e convergenza.

C'è solo una parte fondamentale della dimostrazione che non ho compreso appieno, esattamente il passaggio

"anto_zoolander":Allora definitivamente $1-epsilon0$

Non credo di aver capito come esser certo di quelle disuguaglianze.
Hai usato il criterio dell'equivalenza asintotica e quindi hai detto se $f~ 1/x^(alpha),x->+infty$ allora $f*x^(alpha)~ 1,x->+infty$ ? Ma in tal caso perché quegli epsilon?

Grazie ancora e buon we.

[anto_zoolander]

Parti semplicemente dal fatto che essendo $1$ il limite del rapporto avrai che $forallepsilon>0$ esisterà un certo $c>0$ tale che ogni volta che $x>c$ si avrà $|x^alpha f(x)-1|

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[suppatruppa]

Chiarissimo, grazie!!