Criterio del confronto asintotico
Salve!
Sto studiando i criteri di convergenza delle serie ma non riesco a capire il criterio del confronto asintotico. Più che altro ho un esempio su questo criterio che non capisco: devo studiare la serie \(\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-k^2} + (-1)^k}{k^5-k^3+1}\) e nell'esempio la scompongono come \( \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-k^2}}{k^5-k^3+1} + \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k^5-k^3+1}\) ..quando però vanno a studiare la prima sottoserie scelgono di usare il confronto asintotico con la serie "test" \( \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-k^2}}{k^5}\) ..quello che non capisco è da dove salta fuori questa serie "test".
Qualcuno può aiutarmi?
Sto studiando i criteri di convergenza delle serie ma non riesco a capire il criterio del confronto asintotico. Più che altro ho un esempio su questo criterio che non capisco: devo studiare la serie \(\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-k^2} + (-1)^k}{k^5-k^3+1}\) e nell'esempio la scompongono come \( \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-k^2}}{k^5-k^3+1} + \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k^5-k^3+1}\) ..quando però vanno a studiare la prima sottoserie scelgono di usare il confronto asintotico con la serie "test" \( \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-k^2}}{k^5}\) ..quello che non capisco è da dove salta fuori questa serie "test".
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Ehm..qualcuno mi sa dire perchè le formule non si vedono bene?
"IlRosso":Va bene così? Ho messo la parentesi in \$e^(-k^2)\$
Salve!
Sto studiando i criteri di convergenza delle serie ma non riesco a capire il criterio del confronto asintotico.
Più che altro ho un esempio su questo criterio che non capisco:
devo studiare la serie $ sum_(k = 0)^(+oo)(e^(-k^2) + (-1)^k)/(k^5-k^3+1) $ e nell'esempio la scompongono come $ sum_(k = 0)^(+oo)(e^(-k^2))/(k^5-k^3+1) + sum_(k = 0)^(+oo)((-1)^k)/(k^5-k^3+1) $
Quando però vanno a studiare la prima sottoserie scelgono di usare il confronto asintotico con la serie "test" $ sum_(k = 0)^(+oo)(e^(-k^2))/k^5 $
Quello che non capisco è da dove salta fuori questa serie "test".
Qualcuno può aiutarmi?
Si si, perfetto! ma nel mio messaggio iniziale si vedono stringhe di codice anziche le espressioni..beh, almeno nel tuo si vedono bene! Grazie! 
Ti ho spiegato perchè: tu non hai messo le parentesi all'argomento dell'esponenziale.
Cioè invece di scrivere \$e^(-k^2)\$ (che viene $e^(-k^2)$), hai scritto \$e^-k^2\$ (che viene $e^-k^2$)
Venendo alla tua richiesta, se non ho capito male vuoi sapere da dove vien fuori quella nuova serie "test"
Semplicemente si sfrutta il fatto che all'infinito si ha $k^5-k^3+1 sim k^5$
Cioè invece di scrivere \$e^(-k^2)\$ (che viene $e^(-k^2)$), hai scritto \$e^-k^2\$ (che viene $e^-k^2$)
Venendo alla tua richiesta, se non ho capito male vuoi sapere da dove vien fuori quella nuova serie "test"
Semplicemente si sfrutta il fatto che all'infinito si ha $k^5-k^3+1 sim k^5$
Ora ho capito ma non credevo che per la mancanza delle parentesi all'esponenziale non si vedesse proprio niente. 
Cmq, quando si presume si debba usare il confronto asintotico, la serie test si ricava sempre dalla serie data come in questo caso?
Cmq, quando si presume si debba usare il confronto asintotico, la serie test si ricava sempre dalla serie data come in questo caso?
Con i polinomi sì. Con le altre funzioni bisogna valutare caso per caso
Ok, grazie mille!
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