Criterio del confronto asintotico

IlRosso1
Salve!
Sto studiando i criteri di convergenza delle serie ma non riesco a capire il criterio del confronto asintotico. Più che altro ho un esempio su questo criterio che non capisco: devo studiare la serie \(\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-k^2} + (-1)^k}{k^5-k^3+1}\) e nell'esempio la scompongono come \( \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-k^2}}{k^5-k^3+1} + \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k^5-k^3+1}\) ..quando però vanno a studiare la prima sottoserie scelgono di usare il confronto asintotico con la serie "test" \( \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-k^2}}{k^5}\) ..quello che non capisco è da dove salta fuori questa serie "test".
Qualcuno può aiutarmi?

Risposte
IlRosso1
Ehm..qualcuno mi sa dire perchè le formule non si vedono bene?

Gi81
"IlRosso":
Salve!
Sto studiando i criteri di convergenza delle serie ma non riesco a capire il criterio del confronto asintotico.
Più che altro ho un esempio su questo criterio che non capisco:
devo studiare la serie $ sum_(k = 0)^(+oo)(e^(-k^2) + (-1)^k)/(k^5-k^3+1) $ e nell'esempio la scompongono come $ sum_(k = 0)^(+oo)(e^(-k^2))/(k^5-k^3+1) + sum_(k = 0)^(+oo)((-1)^k)/(k^5-k^3+1) $
Quando però vanno a studiare la prima sottoserie scelgono di usare il confronto asintotico con la serie "test" $ sum_(k = 0)^(+oo)(e^(-k^2))/k^5 $
Quello che non capisco è da dove salta fuori questa serie "test".
Qualcuno può aiutarmi?
Va bene così? Ho messo la parentesi in \$e^(-k^2)\$

IlRosso1
Si si, perfetto! ma nel mio messaggio iniziale si vedono stringhe di codice anziche le espressioni..beh, almeno nel tuo si vedono bene! Grazie! :D

Gi81
Ti ho spiegato perchè: tu non hai messo le parentesi all'argomento dell'esponenziale.
Cioè invece di scrivere \$e^(-k^2)\$ (che viene $e^(-k^2)$), hai scritto \$e^-k^2\$ (che viene $e^-k^2$)

Venendo alla tua richiesta, se non ho capito male vuoi sapere da dove vien fuori quella nuova serie "test"

Semplicemente si sfrutta il fatto che all'infinito si ha $k^5-k^3+1 sim k^5$

IlRosso1
Ora ho capito ma non credevo che per la mancanza delle parentesi all'esponenziale non si vedesse proprio niente. :?
Cmq, quando si presume si debba usare il confronto asintotico, la serie test si ricava sempre dalla serie data come in questo caso?

Gi81
Con i polinomi sì. Con le altre funzioni bisogna valutare caso per caso

IlRosso1
Ok, grazie mille! :D

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