Criterio degli infinitesimi

giggio81
Ciao a tutti, qualcuno mi saprebbe dire come mai questa serie converge?
(si verifica attraverso il criterio degli infinitesimi, che evidentemente non ho capito molto bene...)




Grazie a tutti

Risposte
david_e1
Siccome:

$ log(1+x) = x + o(x) $

Puoi scrivere:

$ log(1+1/n^3) \approx 1/n^3 $

Quindi:

$ sum_{n=1}^{+oo} log( 1 + 1/n^3 ) \approx sum_{n=1}^{+oo} 1/n^3 $

La seconda serie ovviamente converge quindi lo fa anche la prima.

giggio81
Grazie mille, io però ho un piccolo problema:
non capisco queso tipo di scrittura...
potresti farmela come immagine... oppure se c'è una sezione del sito dove imparare a interpretarla...
Grazie ancora...

cavallipurosangue

giggio81
Ok, adesso leggo bene...
Ma che vuol dire che
$ log(1+x) = x + o(x) $
???
Grazie mille

cavallipurosangue
è lo sviluppo di Taylor, anzi di Mac Laurin, fino al primo ordine di $log(1+x)$

giggio81
taylor non l'abbiamo fatto, questa l'avremmo dovuta risolvere con il criterio dellìordine infinitesimo... il problema vero è che io non l'ho ben capito...
Tanto per cominciare non ho ben capito come faccio a capire l'ordine di un termine generale di una serie:
ad esempio,
$ (sqrt2)/( n^2 + n+1)$

perchè ha ordine $3/2$ ????
Grazie ancora per la pazienza, ma ho l'esame tra un pò e praticamente non ci capisco niente :cry:

cavallipurosangue
Ha ordine $-2$, ma solo per $n\to+\infty$
Infatti $ lim_{n\to+\infty}(sqrt2)/( n^2 + n+1)\approx lim_{n\to+\infty}1/n^2$
Tutto ciò tende a zero come $O(n^{-2})$
Secondo me non puoi non sapere taylor.. In questi casi e in molti altri è indispensabile.

giggio81
Scusa ho sbagliato la formula:
$2(sqrt2)/( n^2 + n+1)$

taylor giuro che non l'abbiamo fatto...

cavallipurosangue
che ci sia il due come fattore non conta niente, conta solo, in questo caso, la presenza di termini di grado $\ne0$

david_e1
Quello che da voi chiamano "asintotico" o in altri modi e che volevano usassi per risolvere l'esercizio non e' altro che lo sviluppo di Taylor al primo ordine.

Cambia soltanto il modo di scrivere la relazione:

Invece di:

$log(x)=x+o(x)$

Probabilmente scrivete:

$log(x) $~$ x$

o

$log(x)=O(x)$

(o con qualche altro simbolo)

Ma le due scritture sono equivalenti.

cavallipurosangue
Ma sbaglio, o a volte non "basta" conoscere a cosa è asintotica una funzione per poterfare determinate cose..
Ma bisogna invece spingersi un po' più in là con l'ordine di infinitesimo...
In questo caso non si scappa, serve Taylor..

giggio81
Ah si, adesso mi è molto più chiaro....
Grazias!!!!!

david_e1
"cavallipurosangue":
Ma sbaglio, o a volte non "basta" conoscere a cosa è asintotica una funzione per poterfare determinate cose..
Ma bisogna invece spingersi un po' più in là con l'ordine di infinitesimo...
In questo caso non si scappa, serve Taylor..


Si certo! Ma a volte si riesce anche a cavarsela col primo ordine....

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