Criterio degli infinitesimi

[giggio81]

Ciao a tutti, qualcuno mi saprebbe dire come mai questa serie converge?
(si verifica attraverso il criterio degli infinitesimi, che evidentemente non ho capito molto bene...)




Grazie a tutti

[david_e1]

Siccome:

$ log(1+x) = x + o(x) $

Puoi scrivere:

$ log(1+1/n^3) \approx 1/n^3 $

Quindi:

$ sum_{n=1}^{+oo} log( 1 + 1/n^3 ) \approx sum_{n=1}^{+oo} 1/n^3 $

La seconda serie ovviamente converge quindi lo fa anche la prima.

[giggio81]

Grazie mille, io però ho un piccolo problema:
non capisco queso tipo di scrittura...
potresti farmela come immagine... oppure se c'è una sezione del sito dove imparare a interpretarla...
Grazie ancora...

[cavallipurosangue]

https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6287

[giggio81]

Ok, adesso leggo bene...
Ma che vuol dire che
$ log(1+x) = x + o(x) $
???
Grazie mille

[cavallipurosangue]

è lo sviluppo di Taylor, anzi di Mac Laurin, fino al primo ordine di $log(1+x)$

[giggio81]

taylor non l'abbiamo fatto, questa l'avremmo dovuta risolvere con il criterio dellìordine infinitesimo... il problema vero è che io non l'ho ben capito...
Tanto per cominciare non ho ben capito come faccio a capire l'ordine di un termine generale di una serie:
ad esempio,
$ (sqrt2)/( n^2 + n+1)$

perchè ha ordine $3/2$ ????
Grazie ancora per la pazienza, ma ho l'esame tra un pò e praticamente non ci capisco niente

[cavallipurosangue]

Ha ordine $-2$, ma solo per $n\to+\infty$
Infatti $ lim_{n\to+\infty}(sqrt2)/( n^2 + n+1)\approx lim_{n\to+\infty}1/n^2$
Tutto ciò tende a zero come $O(n^{-2})$
Secondo me non puoi non sapere taylor.. In questi casi e in molti altri è indispensabile.

[giggio81]

Scusa ho sbagliato la formula:
$2(sqrt2)/( n^2 + n+1)$

taylor giuro che non l'abbiamo fatto...

[cavallipurosangue]

che ci sia il due come fattore non conta niente, conta solo, in questo caso, la presenza di termini di grado $\ne0$

[david_e1]

Quello che da voi chiamano "asintotico" o in altri modi e che volevano usassi per risolvere l'esercizio non e' altro che lo sviluppo di Taylor al primo ordine.

Cambia soltanto il modo di scrivere la relazione:

Invece di:

$log(x)=x+o(x)$

Probabilmente scrivete:

$log(x) $~$ x$

o

$log(x)=O(x)$

(o con qualche altro simbolo)

Ma le due scritture sono equivalenti.

[cavallipurosangue]

Ma sbaglio, o a volte non "basta" conoscere a cosa è asintotica una funzione per poterfare determinate cose..
Ma bisogna invece spingersi un po' più in là con l'ordine di infinitesimo...
In questo caso non si scappa, serve Taylor..

[giggio81]

Ah si, adesso mi è molto più chiaro....
Grazias!!!!!

[david_e1]

"cavallipurosangue":Ma sbaglio, o a volte non "basta" conoscere a cosa è asintotica una funzione per poterfare determinate cose..
Ma bisogna invece spingersi un po' più in là con l'ordine di infinitesimo...
In questo caso non si scappa, serve Taylor..

Si certo! Ma a volte si riesce anche a cavarsela col primo ordine....