Criterio confronto tra serie armonica generalizzata e serie armonica
Buongiorno ragazzi, stavo studiando la teoria relativa alle serie numeriche e in particolare il criterio del confronto.
Dice la definizione:
date due serie $ sum(a_k) $ e $ sum(b_k) $ , con $ 0<=a_k<=b_k $
1)Se la serie $ b_k $ converge, converge anche la serie $ a_k $
2) Se la serie $ a_k $ diverge, diverge anche $ b_k $
Ora l'esempio operativo posto dal libro è il seguente:
$ sum_(k = \1) 1/(k^2) $
e tale serie viene confrontata con la serie di Mengoli, ottenendo:
$ 1/(k^2)<1/(k(k-1)) $
e verificando l'effettiva convergenza della serie.
Da qui la mia domanda, perchè non posso confrontarla con la serie armonica, piuttosto che che con la serie di Mengoli?
Mi spiego meglio, posso dire che $ 1/k^2<1/k $ per ogni k. $ 1/k $ è dunque maggiorante di $ 1/k^2 $ e perciò, poichè la serie associata a $ 1/k $ (serie armonica) diverge, diverge anche $ 1/k^2 $.
Ovviamente so che il mio ragionamento è sbagliato data l'evidenza del risultato corretto (la serie converge)...potete spiegarmi l'errore di fondo nel mio ragionamento?
Dice la definizione:
date due serie $ sum(a_k) $ e $ sum(b_k) $ , con $ 0<=a_k<=b_k $
1)Se la serie $ b_k $ converge, converge anche la serie $ a_k $
2) Se la serie $ a_k $ diverge, diverge anche $ b_k $
Ora l'esempio operativo posto dal libro è il seguente:
$ sum_(k = \1) 1/(k^2) $
e tale serie viene confrontata con la serie di Mengoli, ottenendo:
$ 1/(k^2)<1/(k(k-1)) $
e verificando l'effettiva convergenza della serie.
Da qui la mia domanda, perchè non posso confrontarla con la serie armonica, piuttosto che che con la serie di Mengoli?
Mi spiego meglio, posso dire che $ 1/k^2<1/k $ per ogni k. $ 1/k $ è dunque maggiorante di $ 1/k^2 $ e perciò, poichè la serie associata a $ 1/k $ (serie armonica) diverge, diverge anche $ 1/k^2 $.
Ovviamente so che il mio ragionamento è sbagliato data l'evidenza del risultato corretto (la serie converge)...potete spiegarmi l'errore di fondo nel mio ragionamento?
Risposte
"Attribuisci il ruolo corretto a ciascun attore e rileggi attentamente il copione." Questo è la risposta che il mio prof avrebbe dato alla tua domanda.
Io cercherò di essere più esplicito: nel tuo ragionamento, chi è $a_k$? E soprattutto chi ricopre il ruolo di $b_k$? Il teorema riportato contempla il caso che stai analizzando? Se hai bisogno di chiarimenti...
Io cercherò di essere più esplicito: nel tuo ragionamento, chi è $a_k$? E soprattutto chi ricopre il ruolo di $b_k$? Il teorema riportato contempla il caso che stai analizzando? Se hai bisogno di chiarimenti...
Penso di aver capito...in pratica ho trovato una maggiorante divergente, tuttavia il criterio parla solo di maggiorante convergente (Se la serie $ b_k $ converge, converge anche la serie $ a_k $) e dunque non mi da nessuna informazione sul caso da me esposto. Corretto?
Non potevi dirlo meglio (a parole... le formule sono poco chiare). [Edit] ora anche le formule vanno bene! 
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