Criteri di integrabilità

[Damiano77]

Buongiorno avrei bisogno di una mano nel capire se il seguente integrale esiste o no
$int_-1^1 1/(x+e^x)\ \text{dx}$.
La funzione integranda non è limitata nell'intervallo di integrazione perchè ha un asintoto verticale. Per confronto asintotico non posso procedere perchè con conosco con precisione qual è l'equazione dell'asintoto. Per confronto ho trovato solo che $1/(x+e^x)

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Risposte

Mephlip

24 dic 2020, 00:02

La funzione $f(x)=x+e^x$ è continua in $[-1,1]$, inoltre $f(-1)<0$ ed $f(1)>0$. Dunque esiste almeno un $c \in (-1,1)$ tale che $f(c)=0$; tale $c$ è in realtà unico, perché $f$ è strettamente monotòna in $[-1,1]$.

Dunque hai $f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\text{o}(x-c)=(1+e^c)(x-c)+\text{o}(x-c)$, pertanto puoi fare un confronto asintotico con $\frac{1}{(1+e^c)(x-c)}$.

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pilloeffe

24 dic 2020, 00:13

Ciao Damiano 77,

No, l'integrale proposto non converge. Infatti si ha:

$\int_{- 1}^1 1/(x+e^x) \text{d}x = \int_{- 1}^0 1/(x+e^x) \text{d}x + \int_0^1 1/(x+e^x) \text{d}x $

Come hai già intuito, il problema sta nel primo integrale, perché il secondo converge senza problemi. Sai già che devi risolvere l'equazione $x + e^x = 0 \implies e^x = - x \implies {(y = e^x),(y = - x):} $: graficamente si vede subito che l'intersezione fra la funzione esponenziale $y = e^x $ e la retta $y = - x $ avviene nell'intervallo $(- 1, 0) $, per cui si può dire che questo valore, anche se non lo conosciamo, sarà un certo valore $- w \in (- 1, 0) $.
Per $ - w < x < 0 $ si ha:

$ 1/(x+e^x) > 1/x $

La funzione al secondo membro non è integrabile in $(-w, 0) $, per cui non lo è neanche quella al primo membro.

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gugo82

25 dic 2020, 19:42

@ Damiano77: Potresti trovare utili questi appunti.

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Damiano77

26 dic 2020, 16:06

Grazie mille a tutti. Ho capito

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[Mephlip]

La funzione $f(x)=x+e^x$ è continua in $[-1,1]$, inoltre $f(-1)<0$ ed $f(1)>0$. Dunque esiste almeno un $c \in (-1,1)$ tale che $f(c)=0$; tale $c$ è in realtà unico, perché $f$ è strettamente monotòna in $[-1,1]$.

Dunque hai $f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\text{o}(x-c)=(1+e^c)(x-c)+\text{o}(x-c)$, pertanto puoi fare un confronto asintotico con $\frac{1}{(1+e^c)(x-c)}$.

[pilloeffe]

Ciao Damiano 77,

No, l'integrale proposto non converge. Infatti si ha:

$\int_{- 1}^1 1/(x+e^x) \text{d}x = \int_{- 1}^0 1/(x+e^x) \text{d}x + \int_0^1 1/(x+e^x) \text{d}x $

Come hai già intuito, il problema sta nel primo integrale, perché il secondo converge senza problemi. Sai già che devi risolvere l'equazione $x + e^x = 0 \implies e^x = - x \implies {(y = e^x),(y = - x):} $: graficamente si vede subito che l'intersezione fra la funzione esponenziale $y = e^x $ e la retta $y = - x $ avviene nell'intervallo $(- 1, 0) $, per cui si può dire che questo valore, anche se non lo conosciamo, sarà un certo valore $- w \in (- 1, 0) $.
Per $ - w < x < 0 $ si ha:

$ 1/(x+e^x) > 1/x $

La funzione al secondo membro non è integrabile in $(-w, 0) $, per cui non lo è neanche quella al primo membro.

[gugo82]

@ Damiano77: Potresti trovare utili questi appunti.

[Damiano77]

Grazie mille a tutti. Ho capito