Criteri di convergenza per serie a termini positivi
Ciao,
Ho alcuni dubbi sulla convergenza delle seguenti serie, mi aiutereste a capire come continuare con la prima e se le altre 2 sono giuste.
1)
$\sum_{n=1}^{\infty} 1/n \sen 1/{n+1}$
Applico il criterio del rapporto
$\frac{1/{n+1} \sen 1/{n+2}}{1/n \sen 1/{n+1}}$
per il limite notevole $\sen t/t=1$ si ha:
$n \sen 1/{n+2}$
ed a questo punto non so come concludere
2)
$\sum_{n=1}^\infty \log n/n^2$
che se non sbaglio e' uguale a
$\lim{n \to \infty} \log n!/n^2$ che fa $+\infty$
3)
$\sum_{n=0}^\infty n+1/n!$
applico il criterio del rapporto
$\frac{ (n+2)/(n+1)! }{ (n+1)/n!}$
$\frac{(n+2)}{(n+1)^2}<1$ quindi la serie converge
Ho alcuni dubbi sulla convergenza delle seguenti serie, mi aiutereste a capire come continuare con la prima e se le altre 2 sono giuste.
1)
$\sum_{n=1}^{\infty} 1/n \sen 1/{n+1}$
Applico il criterio del rapporto
$\frac{1/{n+1} \sen 1/{n+2}}{1/n \sen 1/{n+1}}$
per il limite notevole $\sen t/t=1$ si ha:
$n \sen 1/{n+2}$
ed a questo punto non so come concludere
2)
$\sum_{n=1}^\infty \log n/n^2$
che se non sbaglio e' uguale a
$\lim{n \to \infty} \log n!/n^2$ che fa $+\infty$
3)
$\sum_{n=0}^\infty n+1/n!$
applico il criterio del rapporto
$\frac{ (n+2)/(n+1)! }{ (n+1)/n!}$
$\frac{(n+2)}{(n+1)^2}<1$ quindi la serie converge
Risposte
Mi sa che c'è un poca di confusione con le formule. Saresti così gentile da ricontrollare plz?

Si' ho fatto parecchia confusione. Mi aiutate a capire quale criterio utilizzare per queste 3 serie?
1)
va a zero come 1/n^2 e quindi il criterio del rapporto non ce la fa a discriminare
2)
il termine generale va a zero più velocemente di (1/n)^(3/2) e quindi hai la convergenza
3) è così?
$\sum_{n=0}^\infty ((n+1)/(n!))$
convergissima (criterio del rapporto)
o è così?
$\sum_{n=0}^\infty n+(1/(n!))$
ovviamente diverge, il temine generale non è infinitesimo
va a zero come 1/n^2 e quindi il criterio del rapporto non ce la fa a discriminare
2)
il termine generale va a zero più velocemente di (1/n)^(3/2) e quindi hai la convergenza
3) è così?
$\sum_{n=0}^\infty ((n+1)/(n!))$
convergissima (criterio del rapporto)
o è così?
$\sum_{n=0}^\infty n+(1/(n!))$
ovviamente diverge, il temine generale non è infinitesimo
per la prima serie dove compare il seno...non puoi applicare il criterio del rapporto perchè la serie nn è a termini a positivi ma oscilla...allora la risolvi con confrontandola con serie note.
per la seconda usi la il criterio del rapporto .e vedi che converge.
per la seconda usi la il criterio del rapporto .e vedi che converge.
"moreno88":no, è a termini positivi
per la prima serie dove compare il seno...non puoi applicare il criterio del rapporto perchè la serie nn è a termini a positivi ma oscilla
"moreno88":uhm, il limite che ottieni col criterio del rapporto è 1
per la seconda usi la il criterio del rapporto .e vedi che converge.
"caronte559":
Ciao,
Ho alcuni dubbi sulla convergenza delle seguenti serie, mi aiutereste a capire come continuare con la prima e se le altre 2 sono giuste.
1)
$\sum_{n=1}^{\infty} 1/n \sen 1/{n+1}$
Applico il criterio del rapporto
$\frac{1/{n+1} \sen 1/{n+2}}{1/n \sen 1/{n+1}}$
per il limite notevole $\sen t/t=1$ si ha:
$n \sen 1/{n+2}$
ed a questo punto non so come concludere
2)
$\sum_{n=1}^\infty \log n/n^2$
che se non sbaglio e' uguale a
$\lim{n \to \infty} \log n!/n^2$ che fa $+\infty$
3)
$\sum_{n=0}^\infty n+1/n!$
applico il criterio del rapporto
$\frac{ (n+2)/(n+1)! }{ (n+1)/n!}$
$\frac{(n+2)}{(n+1)^2}<1$ quindi la serie converge
La prima serie è a termini positivi perché l'argomento del seno è una frazione in cui il denominatore è più grande del numeratore, vale a dire che l'argomento del seno è inferiore a 1; siccome il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante e in prossimità dello zero, se ci ragioni un po' capirai che la serie è a termini positivi.
L'argomento del seno è infinitesimo, dunque è asintotico a $1/n$ che moltiplicato con l'altro $1/n$, si trova che la nostra serie è asintotica all'armonica generalizzata con alfa uguale a 2, da cui la convergenza.
Per la seconda: se applico il corollario del criterio del rapporto il limite mi viene 1, caso di indecisione. Ma se passo direttamente al teorema, ovvero se esiste un K compreso tra 0 e 1 tale che $a_(n+1)/a_n
Perché Fiovarante Patrone il termine generale va più veloce di $1/n^(3/2)$?
"Bob_inch":
Perché Fiovarante Patrone il termine generale va più veloce di $1/n^(3/2)$?
Provo a risponderti io
Il logaritmo va ad infinito PIU' lentamente di qualsiasi potenza con esponente maggiore di 1.
Quindi quando $n^3/2$ raggiunge infinito $log n$ sara' ancora = ad un valore finito che supponiamo = a k.
A questo punto abbiamo $k/n^2$ che e' minore di $1/{n^{3/2}}$.
Mi confermate che non ho detto una idiozia?
per Fioravante Patrone, la terza e'
$\sum_{n=0}^\infty ((n+1)/(n!))$
quindi, come gia' mi hai detto, conbergente.
"Bob_inch":
Per la seconda: se applico il corollario del criterio del rapporto il limite mi viene 1, caso di indecisione. Ma se passo direttamente al teorema, ovvero se esiste un K compreso tra 0 e 1 tale che $a_(n+1)/a_n
Sbagliato.
"caronte559":giusto
Il logaritmo va ad infinito PIU' lentamente di qualsiasi potenza con esponente maggiore di 1.
"caronte559":sbagliato
Quindi quando $n^3/2$ raggiunge infinito $log n$ sara' ancora = ad un valore finito che supponiamo = a k.
"caronte559":non posso
Mi confermate che non ho detto una idiozia?

Per poter corroborare la mia affermazione (ho scelto 3/2, ma ci potevo mettere qualunque numero minore strettamente di 2) si può fare così:
$\log n/n^2 =\frac{1}{n^{3/2}} \cdot \frac{\log n}{n^{1/2}}$, dove si vede che il primo fattore è infinitesimo di ordine 3/2 ed il secondo fattore è infinitesimo (peché Il logaritmo va ad infinito PIU' lentamente di qualsiasi potenza con esponente maggiore di 0). Quindi abbiamo che il termine generale va a zero più rapidamente di $\frac{1}{n^{3/2}}$ e pertanto la serie converge (criterio dell'ordine di infinitesimo).
"Fioravante Patrone":
Per poter corroborare la mia affermazione (ho scelto 3/2, ma ci potevo mettere qualunque numero minore strettamente di 2) si può fare così:
$\log n/n^2 =\frac{1}{n^{3/2}} \cdot \frac{\log n}{n^{1/2}}$, dove si vede che il primo fattore è infinitesimo di ordine 3/2 ed il secondo fattore è infinitesimo (peché Il logaritmo va ad infinito PIU' lentamente di qualsiasi potenza con esponente maggiore di 0). Quindi abbiamo che il termine generale va a zero più rapidamente di $\frac{1}{n^{3/2}}$ e pertanto la serie converge (criterio dell'ordine di infinitesimo).
Ok ho capito.
Un ragionamento del genere si puo'' fare anche nel caso in cui si ha $\frac{\sqrt{n}}{n^2}$?
"Fioravante Patrone":
[quote="Bob_inch"]
Per la seconda: se applico il corollario del criterio del rapporto il limite mi viene 1, caso di indecisione. Ma se passo direttamente al teorema, ovvero se esiste un K compreso tra 0 e 1 tale che $a_(n+1)/a_n
Sbagliato.[/quote]
Non capisco perché sia sbagliato. Mi potresti far capire in cosa sbaglio?
Il criterio dell'ordine di infinitesimo sarebbe il crit. del confronto asintotico?
"caronte559":
Un ragionamento del genere si puo'' fare anche nel caso in cui si ha $\frac{\sqrt{n}}{n^2}$?
Quella si riconduce subito all'armonica generalizzata.
"Bob_inch":
se esiste un K compreso tra 0 e 1 tale che $a_(n+1)/a_n
E in effetti si trova che $a_(n+1)/a_n<1$, dunque la serie conv.
Non capisco perché sia sbagliato. Mi potresti far capire in cosa sbaglio?
Tu trovi che $a_(n+1)/a_n<1$. Da qui inferisci che vale $a_(n+1)/a_n
Ma questa inferenza non è corretta.
Mmm, vero!
Grazie
Grazie