Criteri di convergenza per serie a termini positivi

[caronte559]

Ciao,
Ho alcuni dubbi sulla convergenza delle seguenti serie, mi aiutereste a capire come continuare con la prima e se le altre 2 sono giuste.

1)
$\sum_{n=1}^{\infty} 1/n \sen 1/{n+1}$
Applico il criterio del rapporto
$\frac{1/{n+1} \sen 1/{n+2}}{1/n \sen 1/{n+1}}$
per il limite notevole $\sen t/t=1$ si ha:
$n \sen 1/{n+2}$
ed a questo punto non so come concludere

2)
$\sum_{n=1}^\infty \log n/n^2$
che se non sbaglio e' uguale a
$\lim{n \to \infty} \log n!/n^2$ che fa $+\infty$

3)
$\sum_{n=0}^\infty n+1/n!$
applico il criterio del rapporto
$\frac{ (n+2)/(n+1)! }{ (n+1)/n!}$
$\frac{(n+2)}{(n+1)^2}<1$ quindi la serie converge

[Lord K]

Mi sa che c'è un poca di confusione con le formule. Saresti così gentile da ricontrollare plz?

[caronte559]

Si' ho fatto parecchia confusione. Mi aiutate a capire quale criterio utilizzare per queste 3 serie?

[Fioravante Patrone1]

1)
va a zero come 1/n^2 e quindi il criterio del rapporto non ce la fa a discriminare

2)
il termine generale va a zero più velocemente di (1/n)^(3/2) e quindi hai la convergenza

3) è così?

$\sum_{n=0}^\infty ((n+1)/(n!))$
convergissima (criterio del rapporto)

o è così?

$\sum_{n=0}^\infty n+(1/(n!))$
ovviamente diverge, il temine generale non è infinitesimo

[moreno88]

per la prima serie dove compare il seno...non puoi applicare il criterio del rapporto perchè la serie nn è a termini a positivi ma oscilla...allora la risolvi con confrontandola con serie note.
per la seconda usi la il criterio del rapporto .e vedi che converge.

[Fioravante Patrone1]

"moreno88":per la prima serie dove compare il seno...non puoi applicare il criterio del rapporto perchè la serie nn è a termini a positivi ma oscilla

no, è a termini positivi

"moreno88":per la seconda usi la il criterio del rapporto .e vedi che converge.

uhm, il limite che ottieni col criterio del rapporto è 1

[Bob_inch]

"caronte559":Ciao,
Ho alcuni dubbi sulla convergenza delle seguenti serie, mi aiutereste a capire come continuare con la prima e se le altre 2 sono giuste.

1)
$\sum_{n=1}^{\infty} 1/n \sen 1/{n+1}$
Applico il criterio del rapporto
$\frac{1/{n+1} \sen 1/{n+2}}{1/n \sen 1/{n+1}}$
per il limite notevole $\sen t/t=1$ si ha:
$n \sen 1/{n+2}$
ed a questo punto non so come concludere

2)
$\sum_{n=1}^\infty \log n/n^2$
che se non sbaglio e' uguale a
$\lim{n \to \infty} \log n!/n^2$ che fa $+\infty$

3)
$\sum_{n=0}^\infty n+1/n!$
applico il criterio del rapporto
$\frac{ (n+2)/(n+1)! }{ (n+1)/n!}$
$\frac{(n+2)}{(n+1)^2}<1$ quindi la serie converge

La prima serie è a termini positivi perché l'argomento del seno è una frazione in cui il denominatore è più grande del numeratore, vale a dire che l'argomento del seno è inferiore a 1; siccome il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante e in prossimità dello zero, se ci ragioni un po' capirai che la serie è a termini positivi.
L'argomento del seno è infinitesimo, dunque è asintotico a $1/n$ che moltiplicato con l'altro $1/n$, si trova che la nostra serie è asintotica all'armonica generalizzata con alfa uguale a 2, da cui la convergenza.


Per la seconda: se applico il corollario del criterio del rapporto il limite mi viene 1, caso di indecisione. Ma se passo direttamente al teorema, ovvero se esiste un K compreso tra 0 e 1 tale che $a_(n+1)/a_n Altrimenti come si sarebbe potuta fare? Col criterio del confronto non riuscivo a cavare nulla.

Perché Fiovarante Patrone il termine generale va più veloce di $1/n^(3/2)$?

[caronte559]

"Bob_inch":Perché Fiovarante Patrone il termine generale va più veloce di $1/n^(3/2)$?

Provo a risponderti io
Il logaritmo va ad infinito PIU' lentamente di qualsiasi potenza con esponente maggiore di 1.
Quindi quando $n^3/2$ raggiunge infinito $log n$ sara' ancora = ad un valore finito che supponiamo = a k.
A questo punto abbiamo $k/n^2$ che e' minore di $1/{n^{3/2}}$.
Mi confermate che non ho detto una idiozia?

per Fioravante Patrone, la terza e'
$\sum_{n=0}^\infty ((n+1)/(n!))$
quindi, come gia' mi hai detto, conbergente.

[Fioravante Patrone1]

"Bob_inch":
Per la seconda: se applico il corollario del criterio del rapporto il limite mi viene 1, caso di indecisione. Ma se passo direttamente al teorema, ovvero se esiste un K compreso tra 0 e 1 tale che $a_(n+1)/a_n

Sbagliato.

[Fioravante Patrone1]

"caronte559":
Il logaritmo va ad infinito PIU' lentamente di qualsiasi potenza con esponente maggiore di 1.

giusto

"caronte559":
Quindi quando $n^3/2$ raggiunge infinito $log n$ sara' ancora = ad un valore finito che supponiamo = a k.

sbagliato

"caronte559":
Mi confermate che non ho detto una idiozia?

non posso

Per poter corroborare la mia affermazione (ho scelto 3/2, ma ci potevo mettere qualunque numero minore strettamente di 2) si può fare così:
$\log n/n^2 =\frac{1}{n^{3/2}} \cdot \frac{\log n}{n^{1/2}}$, dove si vede che il primo fattore è infinitesimo di ordine 3/2 ed il secondo fattore è infinitesimo (peché Il logaritmo va ad infinito PIU' lentamente di qualsiasi potenza con esponente maggiore di 0). Quindi abbiamo che il termine generale va a zero più rapidamente di $\frac{1}{n^{3/2}}$ e pertanto la serie converge (criterio dell'ordine di infinitesimo).

[caronte559]

"Fioravante Patrone":

Per poter corroborare la mia affermazione (ho scelto 3/2, ma ci potevo mettere qualunque numero minore strettamente di 2) si può fare così:
$\log n/n^2 =\frac{1}{n^{3/2}} \cdot \frac{\log n}{n^{1/2}}$, dove si vede che il primo fattore è infinitesimo di ordine 3/2 ed il secondo fattore è infinitesimo (peché Il logaritmo va ad infinito PIU' lentamente di qualsiasi potenza con esponente maggiore di 0). Quindi abbiamo che il termine generale va a zero più rapidamente di $\frac{1}{n^{3/2}}$ e pertanto la serie converge (criterio dell'ordine di infinitesimo).

Ok ho capito.
Un ragionamento del genere si puo'' fare anche nel caso in cui si ha $\frac{\sqrt{n}}{n^2}$?

[Bob_inch]

"Fioravante Patrone":[quote="Bob_inch"]
Per la seconda: se applico il corollario del criterio del rapporto il limite mi viene 1, caso di indecisione. Ma se passo direttamente al teorema, ovvero se esiste un K compreso tra 0 e 1 tale che $a_(n+1)/a_n

Sbagliato.[/quote]

Non capisco perché sia sbagliato. Mi potresti far capire in cosa sbaglio?

Il criterio dell'ordine di infinitesimo sarebbe il crit. del confronto asintotico?

[Bob_inch]

"caronte559":Un ragionamento del genere si puo'' fare anche nel caso in cui si ha $\frac{\sqrt{n}}{n^2}$?

Quella si riconduce subito all'armonica generalizzata.

[Fioravante Patrone1]

"Bob_inch":se esiste un K compreso tra 0 e 1 tale che $a_(n+1)/a_n
E in effetti si trova che $a_(n+1)/a_n<1$, dunque la serie conv.

Non capisco perché sia sbagliato. Mi potresti far capire in cosa sbaglio?

Tu trovi che $a_(n+1)/a_n<1$. Da qui inferisci che vale $a_(n+1)/a_n
Ma questa inferenza non è corretta.

[Bob_inch]

Mmm, vero!
Grazie