Criteri di convergenza per le serie

[bernardo2]

Ciao a tutti avrei bisogno di una mano con la seguente dimostrazione (è l'ultimo aiuto che vi chiedo lo prometto!!!)
Sia $\sum_{n=1}^\infty a_n$una serie di termini reali positivi; supponiamo che esista una successione $(b_n) $ di numeri reali positivi e una costante $\alpha>0$ tali che:
$b_n*\frac{a_n}{a_(n+1)}-b_(n+1)>=\alpha \forall n \in NN$
Dimostrare che
$\sum_{n=1}^\infty a_n < +\infty$


Grazie e ciao

[gugo82]

Questo si chiama criterio di convergenza di Kummer.
Per la dimostrazione procedi così: supposto che:

$AA k \in NN, b_k a_k/a_(k+1) -b_(k+1) >=\alpha >0 \quad$,

scrivi la disuguaglianza precedente per $k=1,\ldots , n$; prendendo il m.c.m. ad ambo i membri delle $n$ disuguaglianze scritte trovi:

$a_1b_1-a_2b_2>= \alpha a_2, \ldots , a_nb_n -a_(n+1)b_(n+1)>=\alpha a_(n+1)$

e sommando tali relazioni membro a membro trovi:

$a_1b_1-a_(n+1)b_(n+1)>= \sum_(k=2)^(n+1) a_k \quad$.

Tenendo presente che $a_1b_1-a_(n+1)b_(n+1) <= a_1b_1$, dalla precedente trai che:

$\sum_(k=2)^(n+1) a_k <= (a_1b_1)/\alpha \quad => \quad \sum_(k=1)^(n+1) a_k <= a_1(1+b_1/\alpha) \quad$,

onde la successione delle somme parziali di $\sum a_n$ è superiormente limitata e la serie è convergente.

D'altra parte, c'è anche il criterio di divergenza di Kummer (che è la controparte del criterio precedente):

Sia $\sum a_n$ una serie a termini positivi.
Se esiste una successione $(b_n)$ a termini positivi tale che:

1) $AA n \in NN, b_n a_n/a_(n+1) -b_(n+1) <=0 \quad$ e 2) $\sum 1/b_n$ diverge,

allora $\sum a_n$ diverge (positivamente).

La dimostrazione di questo criterio è analoga a quella precedente e si basa su un altro criterio di convergenza/divergenza classico, che è quello di d'Alembert:

Sia $\sum a_n$ una serie a termini positivi.
Criterio di convergenza: Se esiste una successione $(b_n)$ a termini positivi tale che:

1) $AA n\in \NN, a_(n+1)/a_n <= b_(n+1)/b_n$ e 2) $\sum b_n$ converge,

allora $\sum a_n$ converge.
Criterio di divergenza: Se esiste una successione $(b_n)$ a termini positivi tale che:

1) $AA n\in \NN, b_(n+1)/b_n <= a_(n+1)/a_n$ e 2) $\sum b_n$ diverge,

allora $\sum a_n$ diverge (positivamente).

[Seneca1]

Qualcuno può fare un esempio concreto di come si applica questo criterio? Giusto che favorisca l'intuizione e la memoria...

[Rigel1]

Esempio concreto.
Per $b_n=n$ si ottiene il criterio di Raabe che trovate qui
https://www.matematicamente.it/forum/cri ... 70810.html
con relativo esempio.