Criteri convergenza serie/Esercizio e teoria
Determinare l'intervallo di convergenza della serie di potenze:
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\log(1+n!)}{\log(1+n)} (x)^n$
\[ L = \lim_{n \to +\infty} \frac{\log(1+(n+1)!)}{\log(2+n)} \cdot \frac{\log(1+n)}{\log(1+n!)} = 1 \; ; \] \[ R := \left|\frac{1}{L}\right| = 1 \; ; \] Per cui l'intervallo di convergenza risulta essere \(|x-0|< 1\) ossia \(x \in ]-1, \; 1[\). **
Non converge negli estremi perchè
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\log(1+n!)}{\log(1+n)} = +\infty \ne 0 \]
Nella risoluzione del limite:**
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\log(1+(n+1)!)}{\log(2+n)} \cdot \frac{\log(1+n)}{\log(1+n!)} = \] \[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{\log(n)}{\log(n)} \cdot \frac{\log((n+1)n!)}{\log(n!)} \]
Come esce fuori quest'uguaglianza?
Comunque è stato applicato il teorema di D'Alambert
$lim_{x->oo} |a_{n+1}/{a_n}|=l =>r=1/l$
Partendo da questo cos'altro potrebbe chiedermi sulle serie secondo voi?
Oltre immagino ai criteri per le serie di potenze.
**Ringrazio TeM per la risoluzione dell'esercizio
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\log(1+n!)}{\log(1+n)} (x)^n$
\[ L = \lim_{n \to +\infty} \frac{\log(1+(n+1)!)}{\log(2+n)} \cdot \frac{\log(1+n)}{\log(1+n!)} = 1 \; ; \] \[ R := \left|\frac{1}{L}\right| = 1 \; ; \] Per cui l'intervallo di convergenza risulta essere \(|x-0|< 1\) ossia \(x \in ]-1, \; 1[\). **
Non converge negli estremi perchè
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\log(1+n!)}{\log(1+n)} = +\infty \ne 0 \]
Nella risoluzione del limite:**
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\log(1+(n+1)!)}{\log(2+n)} \cdot \frac{\log(1+n)}{\log(1+n!)} = \] \[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{\log(n)}{\log(n)} \cdot \frac{\log((n+1)n!)}{\log(n!)} \]
Come esce fuori quest'uguaglianza?
Comunque è stato applicato il teorema di D'Alambert
$lim_{x->oo} |a_{n+1}/{a_n}|=l =>r=1/l$
Partendo da questo cos'altro potrebbe chiedermi sulle serie secondo voi?
Oltre immagino ai criteri per le serie di potenze.
**Ringrazio TeM per la risoluzione dell'esercizio
Risposte
se poni $x=1$ nella serie hai
\[ \frac{\ln(1+n)}{\ln(1+n!)}\sim \frac{\ln n}{\ln( n!)}\sim \frac{\ln n}{n\ln n-n}= \frac{\ln n}{n(\ln n-1/n)}\sim \frac{1}{n }\to \mbox{non converge}\]
se poini $x=-1$ ....
\[ \frac{\ln(1+n)}{\ln(1+n!)}\sim \frac{\ln n}{\ln( n!)}\sim \frac{\ln n}{n\ln n-n}= \frac{\ln n}{n(\ln n-1/n)}\sim \frac{1}{n }\to \mbox{non converge}\]
se poini $x=-1$ ....
"Noisemaker":
se poni $x=1$ nella serie hai
\[ \frac{\ln(1+n)}{\ln(1+n!)}\sim \frac{\ln n}{\ln( n!)}\sim \frac{\ln n}{n\ln n-n}= \frac{\ln n}{n(\ln n-1/n)}\sim \frac{\ln n}{n }\to \mbox{non converge}\]
se poini $x=-1$ ....
Grazie della risposta
per $ x= -1$ diverge negativamente?
se $x=-1$ il termine generale della serie diventa
\[(-1)^n\cdot \frac{\ln(1+n)}{\ln(1+n!)}\]
che è a segno alterno e divergente assolutamente dunque nulla a priori puoi concludere...
\[(-1)^n\cdot \frac{\ln(1+n)}{\ln(1+n!)}\]
che è a segno alterno e divergente assolutamente dunque nulla a priori puoi concludere...
"Noisemaker":
se $x=-1$ il termine generale della serie diventa
\[(-1)^n\cdot \frac{\ln(1+n)}{\ln(1+n!)}\]
che è a segno alterno e divergente assolutamente dunque nulla a priori puoi concludere...
E come si risolve?
Volendo usare Leibnitz il termine generale comunque non converge a 0.
Comunque la serie è \[(-1)^n\cdot \frac{\ln(1+n!)}{\ln(1+n)}\]
Nessuno mi aiuta con questo punto?
"asabasa":
Nella risoluzione del limite:**
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\log(1+(n+1)!)}{\log(2+n)} \cdot \frac{\log(1+n)}{\log(1+n!)} = \] \[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{\log(n)}{\log(n)} \cdot \frac{\log((n+1)n!)}{\log(n!)} \]
Come esce fuori quest'uguaglianza?
E il resto?
se la serie è quella che hai scritto tu, allora il termine generale non va a zero e dunque non può convergere
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