Criteri convergenza-divergenza integrali impropri
Ciao a tutti! Ho dei dubbi sullo studio della convergenza degli integrali impropri.
Il testo dice che il seguente integrale
$ int_(0)^(5) \frac{dx}{(x(x+2))^(1/2)} $
risulta essere convergente. Per verificarlo, ho considerato il seguente limite
$ lim_(x -> 0^+) \frac{\frac{1}{x(x+2)^(1/2)}}{1/x^p} $ . Tale limite risulta essere
$ \infty $ se $p=0$, $ 0 $ se $ p \geq 1 $.
Il criterio che ho utilizzato è il seguente:
"Sia $f$ una funzione continua in $(a,b]$, allora:
$ lim_(x -> a^+) \frac{f(x)}{1/(x-a)^p} = $
\( = \begin {cases}
0 & \text{con p<1, allora} \int_{a}^{b} f(x)\, dx & \text{converge} \\
\infty & \text{con $p\geq 1$, allora} \int_{a}^{b} f(x)\, dx & \text{diverge} \\
l \in R^* & \text{allora} \int_{a}^{b} f(x)\, dx & \text{converge se e solo se $p<1$}
\end{cases} \)
Non riesco usando questo criterio, ad arrivare alla convergenza dell'integrale.
Dove sbaglio?
Il testo dice che il seguente integrale
$ int_(0)^(5) \frac{dx}{(x(x+2))^(1/2)} $
risulta essere convergente. Per verificarlo, ho considerato il seguente limite
$ lim_(x -> 0^+) \frac{\frac{1}{x(x+2)^(1/2)}}{1/x^p} $ . Tale limite risulta essere
$ \infty $ se $p=0$, $ 0 $ se $ p \geq 1 $.
Il criterio che ho utilizzato è il seguente:
"Sia $f$ una funzione continua in $(a,b]$, allora:
$ lim_(x -> a^+) \frac{f(x)}{1/(x-a)^p} = $
\( = \begin {cases}
0 & \text{con p<1, allora} \int_{a}^{b} f(x)\, dx & \text{converge} \\
\infty & \text{con $p\geq 1$, allora} \int_{a}^{b} f(x)\, dx & \text{diverge} \\
l \in R^* & \text{allora} \int_{a}^{b} f(x)\, dx & \text{converge se e solo se $p<1$}
\end{cases} \)
Non riesco usando questo criterio, ad arrivare alla convergenza dell'integrale.
Dove sbaglio?
Risposte
Ciao Marthy_92,
Il testo ha ragione, infatti chiaramente l'unico punto problematico per la funzione integranda è il primo estremo di integrazione, ma per $x \to 0^+ $ si ha
$ 1/(x(x+2))^{1/2} = 1/sqrt{x(x + 2)} $[tex]\sim[/tex] $ 1/(sqrt2 sqrt{x}) $
e $\int_0^5 1/(sqrt2 sqrt{x}) \text{d}x = sqrt{10}$. D'altronde nel caso specifico non è neanche troppo complicato risolvere direttamente l'integrale proposto mediante la sostituzione $t = \sqrt{x} $ e si ha:
$\int_0^5 1/(x(x+2))^{1/2}\text{d}x = \int_0^5 1/(\sqrt{x(x+2)})\text{d}x = [2 \text{arcsinh}\sqrt{x/2}]_0^5 = 2 \text{arcsinh}\sqrt{5/2} $
"Marthy_92":
Il testo dice che il seguente integrale
$\int_0^5 1/(x(x+2))^{1/2}\text{d}x $
risulta essere convergente.
Il testo ha ragione, infatti chiaramente l'unico punto problematico per la funzione integranda è il primo estremo di integrazione, ma per $x \to 0^+ $ si ha
$ 1/(x(x+2))^{1/2} = 1/sqrt{x(x + 2)} $[tex]\sim[/tex] $ 1/(sqrt2 sqrt{x}) $
e $\int_0^5 1/(sqrt2 sqrt{x}) \text{d}x = sqrt{10}$. D'altronde nel caso specifico non è neanche troppo complicato risolvere direttamente l'integrale proposto mediante la sostituzione $t = \sqrt{x} $ e si ha:
$\int_0^5 1/(x(x+2))^{1/2}\text{d}x = \int_0^5 1/(\sqrt{x(x+2)})\text{d}x = [2 \text{arcsinh}\sqrt{x/2}]_0^5 = 2 \text{arcsinh}\sqrt{5/2} $
Grazie, ma perché col criterio non trovo riscontro?
Perché non l'hai scritto correttamente: rileggi ciò che hai scritto nell'OP e correggi.
Pilloeffe, scusami ma non capisco dove sia l'errore. Ho ricontrollato il criterio
confrontando con quanto trovato in rete e negli appunti del professore.
Dove sbaglio?
confrontando con quanto trovato in rete e negli appunti del professore.
Dove sbaglio?
Mi risulta:
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{\sqrt{x(x+2)}}}{1/x^p} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{p - 1/2}}{\sqrt{x+2}} = {(+\infty, \text{ se } p < 1/2), (1/sqrt2, \text{ se } p = 1/2),(0, \text{ se } p > 1/2):}$
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{\sqrt{x(x+2)}}}{1/x^p} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{p - 1/2}}{\sqrt{x+2}} = {(+\infty, \text{ se } p < 1/2), (1/sqrt2, \text{ se } p = 1/2),(0, \text{ se } p > 1/2):}$
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