Criteri

[Gmork]

Vorrei sapere se qualcuno mi può aiutare a sistemare i seguenti criteri presi dai miei appunti in quanto credo siano incompleti e/o parzialmente errati.

1) Condizione Necessaria e Sufficiente affinchè $f:[a,+\infty)\to \mathbb{R}$ positiva, monotona non crescente e Riemann integrabile su ogni $[a,x]\sub [a,+\infty)$ sia integrabile in senso generalizzato su $[a,+\infty)$ è che la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)$ sia convergente.

2) Condizione Necessaria affinchè $f:[a,+\infty)\to \mathbb{R}$ risulti integrabile in senso generalizzato su $[a,+\infty)$ è che la $f$ sia infinitesima per $x\to +\infty$.

3) Condizione Sufficiente affinchè [tex]$f:(a, b]\to \mathbb{R}$[/tex] sia integrabile in senso generalizzato su [tex]$(a,b]$[/tex] è che la funzione integranda sia per [tex]$x\to a^{+}$[/tex] un infinito di ordine [tex]$\alpha <1$[/tex]

4) Condizione Sufficiente affinchè [tex]$f:[a,+\infty)\to \mathbb{R}$[/tex] sia integrabile in senso generalizzato su [tex]$[a,+\infty)$[/tex] è che la funzione integranda per [tex]$x\to +\infty$[/tex]sia un infinitesimo di ordine [tex]$\alpha \ge 1$[/tex]

[Gmork]

In particolare credo che la 1) sia errata, ossia, per il criterio integrale di Cauchy quella funzione dovrebbe essere definita su $[1, +\infty)$

Le altre tre condizioni mi sembrano giuste.... ma che succede se per caso ho:

[tex]$f:(a,b]\to \mathbb{R}$[/tex] e vedo che per [tex]$x\to a^+$[/tex] la funzione anzichè essere infinita è infinitesima ?