Crescenza funzione tramite derivata
Salve
vi riporto il teorema più dimostrazione che propone il mio testo:
TEOREMA:
$text{Se una funzione } f : E to RR text{ ha in un punto } x_0 in E text{ derivata positiva (finita o no), allora la } f text{ è crescente in } x_0$
DIM.:
$text{Sia dunque } f'(x_0) > 0 text{. Ciò significa che è } lim_{x to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0 text{.}$
$text{Per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di } x_0 text{ in cui la funzione rapporto incrementale è positiva.}$
$text{La } f text{ è dunque crescente in } x_0$
Non capisco la dimostrazione, in particolare l'ultimo punto, ovvero quando deduce la crescenza della funzione dall'esistenza di un intorno di $x_0$ dove il rapporto incrementale è sempre positivo. Qualcuno potrebbe spiegarmelo meglio... Aspetto fiducioso!
vi riporto il teorema più dimostrazione che propone il mio testo:
TEOREMA:
$text{Se una funzione } f : E to RR text{ ha in un punto } x_0 in E text{ derivata positiva (finita o no), allora la } f text{ è crescente in } x_0$
DIM.:
$text{Sia dunque } f'(x_0) > 0 text{. Ciò significa che è } lim_{x to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0 text{.}$
$text{Per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di } x_0 text{ in cui la funzione rapporto incrementale è positiva.}$
$text{La } f text{ è dunque crescente in } x_0$
Non capisco la dimostrazione, in particolare l'ultimo punto, ovvero quando deduce la crescenza della funzione dall'esistenza di un intorno di $x_0$ dove il rapporto incrementale è sempre positivo. Qualcuno potrebbe spiegarmelo meglio... Aspetto fiducioso!
Risposte
In un opportuno intorno ( destro e sinistro) di $x_0 $ il rapporto incrementale $(f(x)-f(x_0 ))/(x-x_0 ) > 0 $.
Poniamoci ora in un punto $x $ appartenente a quell'intorno destro : sarà $x-x_0 > 0 $ , ma sarà anche $f(x)-f(x_0) > 0 $ perchè il rapporto è positivo.
Se ora ci poniamo in un punto $x $ appartenente all'intorno sinistro di $x_0$ sarà $ x-x_0 < 0 $ , ma srà anche $f(x)-f(x_0) < 0 $ perchè il rapporto è positivo.
Quindi sempre per punti dell'intorno :
$x>x_0 : f(x)>f(x_0 ) $
$x< x_0 : f(x)
Poniamoci ora in un punto $x $ appartenente a quell'intorno destro : sarà $x-x_0 > 0 $ , ma sarà anche $f(x)-f(x_0) > 0 $ perchè il rapporto è positivo.
Se ora ci poniamo in un punto $x $ appartenente all'intorno sinistro di $x_0$ sarà $ x-x_0 < 0 $ , ma srà anche $f(x)-f(x_0) < 0 $ perchè il rapporto è positivo.
Quindi sempre per punti dell'intorno :
$x>x_0 : f(x)>f(x_0 ) $
$x< x_0 : f(x)
Se ho ben capito, il limite del rapporto incrementale ti torna che sia positivo, ma da lì in poi non riesci a concludere la dimostrazione, giusto?
Beh, dato che il limite del rapporto incrementale è il valore di m dell'equazione della retta tangewnte in x0, dove la retta è y=mx+q, te sai che, proprio perchè m>0, che tale rettà è crescente, giusto?
Quindi, poichè questa rettà è tangente alla tua funzione f, ne segue che anche la funzione, in un intorno di x0, è crescente.
Spero di eserti stato utile!!
Beh, dato che il limite del rapporto incrementale è il valore di m dell'equazione della retta tangewnte in x0, dove la retta è y=mx+q, te sai che, proprio perchè m>0, che tale rettà è crescente, giusto?
Quindi, poichè questa rettà è tangente alla tua funzione f, ne segue che anche la funzione, in un intorno di x0, è crescente.
Spero di eserti stato utile!!
Ho capito!! 
Grazie mille a Camillo che è stato chiarissimo!! E grazie anche a FainaGimmi che ha proposto una seconda dimostrazione!!
Grazie mille a Camillo che è stato chiarissimo!! E grazie anche a FainaGimmi che ha proposto una seconda dimostrazione!!
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