Crescenza e Decrescenza della funzione $y=x^2*(log|x|-1)$
Salve,
sono nuovo del forum... sn uno studente universitario, facoltà di Ingegneria Meccanica all'Università di Salerno. Il 7 gennaio ho il mio primo esame... Matematica I...
ho dei problemi nel trovare la crescenza e decrescenza di questa funzione $y=x^2*(log|x|-1)$
dal grafico mi risulta chiaramente che la derivata di quella funzione posta maggiore di zero è verificata negli intervalli $-sqrt(e)sqrt(e)$, ed è confermato anche dal programma Derive.... ma svolgendo i calcoli viene tutt'altro... i valori sono gli stessi.. ma gli intervalli diversi...
Chi è così gentile da mostrarmi i passaggi GIUSTI per questo tipo di funzione?? Così posso capire meglio anche come funzione qst "noioso" valore assoluto...
Vi ringrazio
sono nuovo del forum... sn uno studente universitario, facoltà di Ingegneria Meccanica all'Università di Salerno. Il 7 gennaio ho il mio primo esame... Matematica I...
ho dei problemi nel trovare la crescenza e decrescenza di questa funzione $y=x^2*(log|x|-1)$
dal grafico mi risulta chiaramente che la derivata di quella funzione posta maggiore di zero è verificata negli intervalli $-sqrt(e)
Chi è così gentile da mostrarmi i passaggi GIUSTI per questo tipo di funzione?? Così posso capire meglio anche come funzione qst "noioso" valore assoluto...
Vi ringrazio
Risposte
Comincia con il postare qualche conto e vediamo dov'è il problema.
P.S. Chi ti rompe le scatole, il professore D'Apice?
P.S. Chi ti rompe le scatole, il professore D'Apice?
Ciao e benvenuto nel forum.
Per prima cosa dovrei chiederti di evitare (e magari modificare il messaggio) di scrivere con "qst, sn", come prescrive anche il regolamento.
Venendo alla funzione
[tex]$f(x)=x^2(\log|x|-1)$[/tex]
derivando (derivata del prodotto)
[tex]$f'(x)=2x(\log|x|-1)+x^2\cdot\frac{sign(x)}{|x|}$[/tex]
ma d'altra parte [tex]$sign(x)=\frac{|x|}{x}$[/tex] e la derivata diventa
[tex]$f'(x)=2x(\log|x|-1)+x=$[/tex]
[tex]=x(2\log|x|-1)$[/tex]
A questo punto si tratta solo di studiare separatamente il segno ($x$ e parentesi), il che è molto agevole.
Ti torna?
Ciao!
Per prima cosa dovrei chiederti di evitare (e magari modificare il messaggio) di scrivere con "qst, sn", come prescrive anche il regolamento.
Venendo alla funzione
[tex]$f(x)=x^2(\log|x|-1)$[/tex]
derivando (derivata del prodotto)
[tex]$f'(x)=2x(\log|x|-1)+x^2\cdot\frac{sign(x)}{|x|}$[/tex]
ma d'altra parte [tex]$sign(x)=\frac{|x|}{x}$[/tex] e la derivata diventa
[tex]$f'(x)=2x(\log|x|-1)+x=$[/tex]
[tex]=x(2\log|x|-1)$[/tex]
A questo punto si tratta solo di studiare separatamente il segno ($x$ e parentesi), il che è molto agevole.
Ti torna?
Ciao!
Steven, ho modificato il messaggio come m'hai detto... purtroppo è una abitudine scrivere abbreviato... ma eviterò sicuramente... scusatemi!
Ritornando alla funzione...
i calcoli che ho svolto sono gli stessi postati da Steven...
quindi studiando separatamente il segno, vien fuori un sistema cn la $x$ positiva quando $x>0$, ed $-x$ quando $x<0$...
$2x(log(x)-1)+x$ , $x>0$
{
$2x(log(-x)-1)+x$ , $x<0$
la prima disequazione la risolvo.. mmm...
ma posso semplificare la x??... cioè la disquazione posso traformala come $2(log(x)-1)+1>0$??
Ritornando alla funzione...
i calcoli che ho svolto sono gli stessi postati da Steven...
quindi studiando separatamente il segno, vien fuori un sistema cn la $x$ positiva quando $x>0$, ed $-x$ quando $x<0$...
$2x(log(x)-1)+x$ , $x>0$
{
$2x(log(-x)-1)+x$ , $x<0$
la prima disequazione la risolvo.. mmm...
ma posso semplificare la x??... cioè la disquazione posso traformala come $2(log(x)-1)+1>0$??
@style246 : se non hai ancora familiarità con la funzione $sign(x)$ suddividi la funzione in due diverse espressioni analitiche :
$y_1=x^2(logx-1) $ per $x>0 $
$y_2=x^2(log(-x)-1)$ per $x<0 $ e calcola le due derivate .
$y_1=x^2(logx-1) $ per $x>0 $
$y_2=x^2(log(-x)-1)$ per $x<0 $ e calcola le due derivate .
lascio perdere quella semplificazione...
con il log(x) [x>0] la funzione è verificata per x<0 e $x>sqrt(e)$.. quindi scarto x<0 dato ke il log di un valore negativo non esiste... e prendo solo $x>sqrt(e)$??
con il log(x) [x>0] la funzione è verificata per x<0 e $x>sqrt(e)$.. quindi scarto x<0 dato ke il log di un valore negativo non esiste... e prendo solo $x>sqrt(e)$??
Semplificare $ x $ no ma raccogliere $x $ a fattor comune sì.
Per trovare gli intervalli di crescita devi risolvere le due disequazioni ( la prima relativa a $x> 0$ la seconda per $x<0 $ ):
* $x[2log x-1]> 0$, essendo $x>0$ si ottiene $x> sqrt(e) $ e quindi l'intervallo di crescenza è $(sqrt(e),+oo)$.
*$x[2log(-x)-1] >0$, essendo $x<0$ la soluzione sarà $2log(-x)<1$ da cui $ -x-sqrt(e)$; l'intervallo di crescenza è $(-sqrt(e), 0) $.
Si può fare una considerazione utile : la funzione è pari e quindi si può studiarla solo per $x> 0 $ e poi " ribaltare " le considerazioni fatte.
Per trovare gli intervalli di crescita devi risolvere le due disequazioni ( la prima relativa a $x> 0$ la seconda per $x<0 $ ):
* $x[2log x-1]> 0$, essendo $x>0$ si ottiene $x> sqrt(e) $ e quindi l'intervallo di crescenza è $(sqrt(e),+oo)$.
*$x[2log(-x)-1] >0$, essendo $x<0$ la soluzione sarà $2log(-x)<1$ da cui $ -x
Si può fare una considerazione utile : la funzione è pari e quindi si può studiarla solo per $x> 0 $ e poi " ribaltare " le considerazioni fatte.
CAMILLO.. nn ho capito la seconda espressione....
$x[2log(-x)-1]>0$, essendo $x<0$ la soluzione sarà $2log(-x)<1$ da cui -$x
trovo lo stesso tuo risultato... ma pongo sempre $2log(-x)-1>0$... quindi $2log(-x)>1$ --> $log(-x)>1/2$ --> $-x>e^(1/2)$ --> $x<-e^(1/2)$
facendo il falso sistema con x>0...
vien fuori che è verificata per $(-e^(1/2) , 0)$
$x[2log(-x)-1]>0$, essendo $x<0$ la soluzione sarà $2log(-x)<1$ da cui -$x
trovo lo stesso tuo risultato... ma pongo sempre $2log(-x)-1>0$... quindi $2log(-x)>1$ --> $log(-x)>1/2$ --> $-x>e^(1/2)$ --> $x<-e^(1/2)$
facendo il falso sistema con x>0...
vien fuori che è verificata per $(-e^(1/2) , 0)$
beh è la stessa cosa... ma è corretto con x<0?? cioè devo porre la funzione maggiore di zero.. ma poichè si tratta di un valore assoluto.. quando considerto -x devo porlo minore di zero?
Guarda che per quanto riguarda$x < 0$ non ti viene lo stesso risultato di Camillo. Infatti sbagli subito la condizione iniziale.
Per avere la disequazione verificata, deve essere che i 2 fattori ($x$ e log...) siano entrambi negativi. e il logaritmo si annulla se è minore di 1. Mentre te l' hai posto maggiore di 1.
Per avere la disequazione verificata, deve essere che i 2 fattori ($x$ e log...) siano entrambi negativi. e il logaritmo si annulla se è minore di 1. Mentre te l' hai posto maggiore di 1.
Visto che la funzione è pari, basta studiarla per $x>0$ (e riportare i risultati per simmetria sulla semiretta negativa).
ok condivido...
ma... mi potete riscrivere per bene le due disequazioni quando pongo che la funzione deve essere maggiore di zero? grazie!! Non fa niente che è pari.. è per capire...
ma... mi potete riscrivere per bene le due disequazioni quando pongo che la funzione deve essere maggiore di zero? grazie!! Non fa niente che è pari.. è per capire...
Riprendo la seconda disequazione, quella valida per $x<0 $, volendo conoscere gli intervalli di crescenza della funzione si pone $f'(x)> 0 $ e quindi :
$ x[2log (-x) -1] >0 $ .Ora un prodotto è $>0 $ se entrambi i fattori sono di segno concorde e quindi
entrambi positivi
o
entrambi negativi
In questo caso è $x<0$ e quindi anche l'altro fattore deve essere negativo e cioè :
$ 2log(-x) -1 < 0 $ da cui $ log(-x) <1/2 $ e quindi $ -x < e^(1/2) $ e alla fine $ x > -sqrt(e)$ ( avendo moltiplicato i due membri della disequazione per $-1$ va cambiato il verso della disequazione).
Pertanto $ -sqrt(e)< x< 0 $ è la soluzione della ( seconda ) disequazione.
OK ?
$ x[2log (-x) -1] >0 $ .Ora un prodotto è $>0 $ se entrambi i fattori sono di segno concorde e quindi
entrambi positivi
o
entrambi negativi
In questo caso è $x<0$ e quindi anche l'altro fattore deve essere negativo e cioè :
$ 2log(-x) -1 < 0 $ da cui $ log(-x) <1/2 $ e quindi $ -x < e^(1/2) $ e alla fine $ x > -sqrt(e)$ ( avendo moltiplicato i due membri della disequazione per $-1$ va cambiato il verso della disequazione).
Pertanto $ -sqrt(e)< x< 0 $ è la soluzione della ( seconda ) disequazione.
OK ?
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