Covergenza serie

[ride2]

ho la seguente serie
$\sum_{n>=1} (logn-(2log^2n)/log(1+n^2))$
devo verificare se è convergente o meno. sarà sicuramente una stupidata, ma non mi riesce. avevo pensato che $(2log^2n)/log(1+n^2)$ per $n->oo$ tende a $-2logn$, e che quindi la successione $an=(logn-(2log^2n)/log(1+n^2))$ tende a $logn-2logn=-logn$, che per $n>=1$ è a termini negativi, essendo a questa condizione $logn$ sempre positivo. quindi non posso usare i criteri per le serie a termini positivi, e dovrei ricorrere al criterio dell'assoluta convergenza. non so se è corretto il mio ragionamento; c'è qualcuno che saprebbe aiutarmi?

[Principe2]

"ride":avevo pensato che $(2log^2n)/log(1+n^2)$ per $n->oo$ tende a $-2logn$

Come puo' una successione convergere ad un'altra successione? Semmai converge ad un numero. Forse vuoi dire che "si comporta come quell'altra successione", il che e' comunque sbagliato, visto che si comporta come la successione $\log(n)$.

Comunque $\log(1+n^2)\geq\log(n^2)$. Questo significa che

$\frac{2\log^2(n)}{\log(1+n^2)}\leq\frac{2\log^2(n)}{\log(n^2)}=\frac{2\log^2(n)}{2\log(n)}=\log(n)$

Di conseguenza la serie e' a termini non-negativi e puoi provare ad usare i criteri che conosci.

Penso che per ora questo aiuto puo' bastare.

Ciao!

[ride2]

"Valerio Capraro":[quote="ride"]avevo pensato che $(2log^2n)/log(1+n^2)$ per $n->oo$ tende a $-2logn$

Come puo' una successione convergere ad un'altra successione? Semmai converge ad un numero. Forse vuoi dire che "si comporta come quell'altra successione", il che e' comunque sbagliato, visto che si comporta come la successione $\log(n)$.

Comunque $\log(1+n^2)\geq\log(n^2)$. Questo significa che

$\frac{2\log^2(n)}{\log(1+n^2)}\leq\frac{2\log^2(n)}{\log(n^2)}=\frac{2\log^2(n)}{2\log(n)}=\log(n)$

Di conseguenza la serie e' a termini non-negativi e puoi provare ad usare i criteri che conosci.

Penso che per ora questo aiuto puo' bastare.

Ciao![/quote]

si volevo dire si comporta come.. veramente il mio primo tentativo era stato proprio considerando come funzione equivalente $logn$, ma mi son poi accorto che avevo sbagliato qualche conto; infatti se consideri che la serie si comporta come $logn$ significa che diverge, perchè $logn$ diverge per $n->oo$, o sbaglio??? e comunque se $\frac{2\log^2(n)}{\log(1+n^2)}\leq\frac{2\log^2(n)}{\log(n^2)}=\frac{2\log^2(n)}{2\log(n)}=\log(n)$, avrei quindi che la mia serie sarebbe come $logn-logn$??? non capisco

[Principe2]

Non e' tutta la serie che si comporta come $\log(n)$, ma soltanto il secondo addendo. Quei conti sono giusti e dimostrano solo che la serie e' a termini non-negativi. Non fare il classico errore di scambiare una serie con la successione dei suoi termini. Per esempio, il fatto che una serie $\sum a_n$ converge ti implica che $a_n\to0$ e quindi $a_n$ in qualche senso si comporta come $0$... ma e' chiaro che questo ragionamento porta a varie contraddizioni, per il semplice motivo che e' sbagliato.

[ride2]

dunque il fatto $an->logn-logn=0$ rappresenta la condizione necessaria $an->0$ per cui la serie può convergere? umh ok allora provo ad applicare i criteri che conosco, anche se mi trovo un pò in difficoltà.. ho un pò di problemi con quest'argomento..

[Principe2]

"ride":dunque il fatto $an->logn-logn=0$ rappresenta la condizione necessaria $an->0$ per cui la serie può convergere? umh ok allora provo ad applicare i criteri che conosco, anche se mi trovo un pò in difficoltà.. ho un pò di problemi con quest'argomento..

Esatto! Praticamente abbiamo dimostrato due cose: uno che la serie e' a termini non-negativi; due, che la condizione necessaria e' soddisfatta.

Buon lavoro per il resto.

[ride2]

benissimo.. grazie

[ride2]

ho confrontato la mia serie con $b_n=1/(n(logn)^a)$, la quale converge per $a>1$, quindi prendo $b_n=1/(n(logn)^2)$. abbiamo che $b_n>a_n$, indicando con $a_n$ la successione della mia serie, poichè se faccio il limite per $n->oo$ di $a_n/b_n$ esso è $0<1$ che implica appunto $a_n

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