Cos(z) = 2

[lorenzo1234567]

Buonasera, qual è quel numero $z\in C$ tale che $cos(z) = 2$?

[Gi81]

Indicativamente farei così:

Vale questa uguaglianza: $(e^(iz)+e^(-iz))/2 = cos(z)$

Quindi il problema diventa $e^(iz)+e^(-iz)= 4$.

Moltiplichiamo entrambi i membri per $e^(iz)$, ottenendo $(e^(iz))^2 +1 = 4*e^(iz)$
Ponendo $y=e^(iz)$ abbiamo $y^2-4y+1 = 0$, da cui ...

[gugo82]

"Lorenzo_99":Buonasera, qual è quel numero $z\in C$ tale che $cos(z) = 2$?

Buonasera, cos'hai provato?

[xdom="gugo82"]Dopo 40 post dovresti aver capito come funziona...[/xdom]

[lorenzo1234567]

"Gi8":Vale questa uguaglianza: $(e^(iz)+e^(-iz))/2 = cos(z)$

Ok, direi che mi mancano proprio le basi perchè non la conoscevo. Infatti all'inizio non mi spiegavo come fosse possibile che il coseno restituisse un numero "fuori" dal suo range tradizionale [-1, 1].
Inoltre noto una certa somiglianza col coseno iperbolico...c'è qualche collegamento?

"Gi8":
Quindi il problema diventa $e^(iz)+e^(-iz)= 4$.

Moltiplichiamo entrambi i membri per $e^(iz)$, ottenendo $(e^(iz))^2 +1 = 4*e^(iz)$
Ponendo $y=e^(iz)$ abbiamo $y^2-4y+1 = 0$, da cui ...

Ottenuti gli zeri ($2\pm sqrt(3)$) come procedo? Nel senso, se non ci fosse stata la sostituzione di $y$ quelli sarebbero stati i due numeri (reali) che sostituiti nell'equazione iniziale al posto di $z$ la avrebbero resa vera. In questo caso però $y$ dovrà essere rimpiazzata con $e^(iz)$. E a quel punto? Potrei sostituire, con le due radici ottenute, $e^(iz)$ in $e^(iz)+e^(-iz)= 4$ se non ci fosse quella $-i$ ad esponente ($e^(-iz)$). Per cui come mi comporto?

"gugo82":
Buonasera, cos'hai provato?

[xdom="gugo82"]Dopo 40 post dovresti aver capito come funziona...[/xdom]

È proprio così infatti! Per questo se al quarantunesimo post non scrivo niente significa che non sono stato (purtroppo) neanche in grado di trovare un punto di partenza!

[Gi81]

Perdonami, ma non ti è stata data la definizione di coseno (o seno, o tangente) di un numero complesso? Non ti sono state spiegate le proprietà? Mi sembra strano che tu debba fare un esercizio su un certo argomento senza che ti venga spiegata la teoria su quell'argomento.

In ogni caso, per concludere:

"Lorenzo_99":Ottenuti gli zeri ($2\pm sqrt(3)$) come procedo?

Dato che $y= e^(iz)$, si sostituisce. Si ha $e^(iz) = 2+-sqrt3 => iz = ln(2+-sqrt3) => z = -i* ln(2+-sqrt3)$

Quindi abbiamo $z= 2kpi-i* ln(2+sqrt3), k in ZZ$ oppure $z= 2kpi+i* ln(2-sqrt3), k in ZZ$. Fine

[gugo82]

"Lorenzo_99":[quote="gugo82"]
Buonasera, cos'hai provato?

[xdom="gugo82"]Dopo 40 post dovresti aver capito come funziona...[/xdom]

È proprio così infatti! Per questo se al quarantunesimo post non scrivo niente significa che non sono stato (purtroppo) neanche in grado di trovare un punto di partenza! [/quote]

A quanto fa giustamente notare Gi8:

"Gi8":Perdonami, ma non ti è stata data la definizione di coseno (o seno, o tangente) di un numero complesso? Non ti sono state spiegate le proprietà? Mi sembra strano che tu debba fare un esercizio su un certo argomento senza che ti venga spiegata la teoria su quell'argomento.

aggiungo che esistono tante fonti da cui attingere la definizione di un oggetto, anche se non la si conosce (e.g., testi consigliati, dispense del corso, appunti dei colleghi, siti internet, etc...), quindi non è possibile non riuscire a "trovare un punto di partenza".

[lorenzo1234567]

"Gi8":Perdonami, ma non ti è stata data la definizione di coseno (o seno, o tangente) di un numero complesso?

Se è stata data (sul registro non c'è scritto niente a riguardo), è stato fatto probabilmente in una delle 2/3 lezioni a cui sono mancato anche se in realtà gli argomenti trattati erano molto oltre i complessi (integrali/differenziali).

"Gi8":
In ogni caso, per concludere:
[quote="Lorenzo_99"]Ottenuti gli zeri ($ 2\pm sqrt(3) $) come procedo?

Dato che $ y= e^(iz) $, si sostituisce. Si ha $ e^(iz) = 2+-sqrt3 => iz = ln(2+-sqrt3) => z = -i* ln(2+-sqrt3) $

Quindi abbiamo $ z= 2kpi-i* ln(2+sqrt3), k in ZZ $ oppure $ z= 2kpi+i* ln(2-sqrt3), k in ZZ $. Fine[/quote]
L'ultima cosa: perchè "al cambio di segno" all'interno dell'argomento del logaritmo deve cambiare anche quello di $i$? Cioè avrei detto che l'insieme delle soluzioni sono soltanto $ z= 2kpi-i*ln(2+sqrt3), k in ZZ$ e $z= 2kpi-i*ln(2-sqrt3), k in ZZ $.

"gugo82":
A quanto fa giustamente notare Gi8:
[quote="Gi8"]Perdonami, ma non ti è stata data la definizione di coseno (o seno, o tangente) di un numero complesso? Non ti sono state spiegate le proprietà? Mi sembra strano che tu debba fare un esercizio su un certo argomento senza che ti venga spiegata la teoria su quell'argomento.

aggiungo che esistono tante fonti da cui attingere la definizione di un oggetto, anche se non la si conosce (e.g., testi consigliati, dispense del corso, appunti dei colleghi, siti internet, etc...), quindi non è possibile non riuscire a "trovare un punto di partenza". [/quote]
Avresti anche ragione. Ma il problema è che non conoscendo l'esistenza di questa definizione non sapevo neanche di doverla cercare. Tutto qui. Adesso che lo so, provvederò ad ""acculturarmi"". Niente di trascendentale.

[Gi81]

Si hai ragione, concordo con te. Ho commesso un errore di segno. Le tue soluzioni sono quelle corrette

[axpgn]

"Lorenzo_99":Ma il problema è che non conoscendo l'esistenza di questa definizione non sapevo neanche di doverla cercare.

Scusami ma questa parte non è affatto convincente
Se mi trovo davanti l'espressione $cos(z)$ e so che $z$ è un numero complesso e io non ho mai visto né sentito parlare di funzioni trigonometriche ad argomento complesso, la prima cosa che faccio non è mettermi a risolvere l'esercizio ma vado a cercarne il significato, la definizione; sul mio libro di testo, sugli appunti, sul web, al prof, ...
Non ha senso mettersi a risolvere problemi di cui neppure conosco il senso ...

Cordialmente, Alex