Costruzione distanza

[Sk_Anonymous]

Buongiorno a tutti. Mi cruccio da un momento con il seguente esercizio, che reca:

Sia \(\displaystyle \mbox{V} \) l'insieme di tutte le successioni reali \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \). Costruire una funzione \(\displaystyle d: \mbox{V} \times \mbox{V} \to [0, \infty) \) tale che:
1) \(\displaystyle (\mbox{V},d) \) sia uno spazio metrico ( - e su questo non ho problemi - );
2) Per ogni \(\displaystyle x, \; y, \; z \; \in \mbox{V} \) si ha \(\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y) \) (Invarianza per traslazioni - nemmeno su questo non ho problemi - );
3) Per ogni numero reale \(\displaystyle t \in [0,1) \) esistono punti \(\displaystyle x,y \in \mbox{V} \) tali che \(\displaystyle d(x,y)=t \).

Il punto fastidioso è l'ultimo, per ora nessuna idea mi è venuta. Confido in un vostro suggerimento.

Grazie in anticipo.

[gugo82]

Scusa, ma se non ci dici che distanza hai costruito come vuoi che ti riusciamo a dare una mano?

[Rigel1]

Bisognerebbe sapere a che tipo di distanza stai pensando per vedere se si può modificare in modo da soddisfare anche 3.
Intanto ti metto in spoiler una mia possibile soluzione.

Detti $x=(a_n)$, $y=(b_n)$ e posto $s_n=\sum_{k=1}^n |a_n-b_n|$, definiamo
\[ d(x,y) := \lim_n \frac{s_n}{1+s_n} \]

[Sk_Anonymous]

Hai assolutamente ragione. L'idea (strampalata) è quella di riutilizzare banalmente la distanza standard su \(\displaystyle \mathbb{R} \) e considerare la differenza tra due successioni come la differenza tra l'n-esimo elemento della prima successione e l'n-esimo elemento della seconda. Questa distanza verificherebbe le prime due proprietà, ma per la terza... ? Se avessi a che fare con funzioni potrei semplicemente traslare verso l'alto per esempio un'arcotangente in modo tale che \(\displaystyle \forall t \in [0,1) \ \exists \ f(x)\) \(\displaystyle \mbox{t.c.} \) \(\displaystyle |\arctan(x) - f(x)|=t \), ma questo discorso non credo abbia molto senso, per le successioni...

[Rigel1]

Con $n$ fissato?!?

[Sk_Anonymous]

Boiata pazzesca. Mi sono reso conto di aver scritto una cosa assurda, e di non aver nemmeno spiegato bene quanto intendevo dire. Ad ogni modo anche quanto intendevo dire è una boiata.

[Rigel1]

In realtà è la "prima approssimazione" che potrebbe venire in mente, ma vedi subito che non soddisfa la proprietà di annullamento. Per fare in modo che questa sia soddisfatta, devi tener conto di tutti gli elementi della successione.

[Sk_Anonymous]

Eh sì. Scusa Rigel, ma non capisco una cosa: come, la distanza che hai costruito, verifica la terza proprietà richiesta?

[Rigel1]

La funzione \( s\mapsto s/(1+s) \), \( s\geq 0\), ha per immagine proprio l'intervallo \( [0,1) \).
Scelto dunque \(s\geq 0\) tale che \( s/(1+s) = t\), basterà quindi fare in modo che \(s_n \to s\)...

[Sk_Anonymous]

Mmm, mi hai dato un sincero spunto di riflessione, ti ringrazio.
E chiedo ancora perdono per la pistolettata sparata in partenza.