Costruzione di una norma in $L^p(\Omega)$
Sugli appunti c'è scritto che in $L^p(\Omega)$ con $\Omega$ aperto di $R^n$ si introduce la classe di equivalenza delle funzioni uguali q.o. ed è con questa che si costruisce uno spazio di Banach altrimenti la solita $||f||$ definisce solamente una seminorma. Le proprietà della norma sono:
$i $ $||x||>=0\ \forall x \in X,\ ||x||=0 \Leftrightarrow x=0,\ x \in X$, positività
$ii $ $||\alpha x||=|\alpha|||x||\ \forall \alpha in K,\ x \in X$ omogeneità in valore assoluto
$iii $ $||x+y||<=||x||+||y||\ \forall x,y \in X$ disuguaglianza triangolare
Nella seminorma in $i$ $x=0 => ||x||=0,\ x \in X$ quindi un vettore non nullo può avere norma nulla. Se la norma è \[||f||_p=\left(\int_{\Omega}|f(x)|^pdx\right)^{1/p}\] perché questa
$\?$ è solo una seminorma per le funzioni $p-$sommabili ma è una norma per la classe di equivalenza $f \sim g \Leftrightarrow f=g$ q.o ? Vale a dire, perché $||[f]||=0=>[f]=0$ mentre $||f||=0\not \Rightarrowf=0$ ?
$i $ $||x||>=0\ \forall x \in X,\ ||x||=0 \Leftrightarrow x=0,\ x \in X$, positività
$ii $ $||\alpha x||=|\alpha|||x||\ \forall \alpha in K,\ x \in X$ omogeneità in valore assoluto
$iii $ $||x+y||<=||x||+||y||\ \forall x,y \in X$ disuguaglianza triangolare
Nella seminorma in $i$ $x=0 => ||x||=0,\ x \in X$ quindi un vettore non nullo può avere norma nulla. Se la norma è \[||f||_p=\left(\int_{\Omega}|f(x)|^pdx\right)^{1/p}\] perché questa
$\?$ è solo una seminorma per le funzioni $p-$sommabili ma è una norma per la classe di equivalenza $f \sim g \Leftrightarrow f=g$ q.o ? Vale a dire, perché $||[f]||=0=>[f]=0$ mentre $||f||=0\not \Rightarrowf=0$ ?
Risposte
Ho pensato, richiamando la definizione di spazio vettoriale (sia $K$ un campo e $X$ un gruppo abeliano additivo etc...) se ho due funzioni $f,g\ \in\ L^p(\Omega)$ tali che
$1.$ $||f||=0=>f=0$ q.o.
$2.$ $||g||=0=>g=0$ q.o
ma non necessariamente si ha $q=f$ e quindi se l'uguaglianza è intesa $\forall x \in R^n$ allora si avrebbero effettivamente due elementi nulli e le funzioni $p-$sommabili non formerebbero neppure una struttura di gruppo. (Non penso che in questo caso (non so in generale) abbia senso il concetto di uguaglianza q.o. dato che q.o. è un concetto particolare della misura, e due funzioni uguali q.o. non sono algebricamente uguali fra loro nel senso inteso prima, ovvero per ogni x). Con il concetto di classe di equivalenza si applica allora la norma alla classe di equivalenza e
\[||[f]||=0 \Leftrightarrow [f]=0\]
che vale solamente per un elemento, l'elemento nullo. A questo proposito si potrebbe allora introdurre lo spazio di Banach delle funzioni $p-$sommabili come:
$1.$ Sia l'aperto $\Omega \subseteq R^n$ e sia $X$ l'insieme delle funzioni $f:\Omega->R$.
$2.$ In questo insieme si introduce una relazione di equivalenza: $f\sim g \Leftrightarrow f=g$ q.o.
$3.$ Si introduce una struttura di spazio vettoriale ed in particolare si mostra che l'elemento nullo è unico (mentre nella terminologia del q.o. utile alla misura l'elemento nullo non sarebbe unico e non si potrebbe costruire con i vettori una struttura di gruppo). Si ottiene allora l'insieme $[X]$.
$4.$ Si individua in questo insieme il sottospazio delle classi $p-$sommabili (si definisce quindi un sottoinsieme per proprietà), vale a dire si dimostra che è chiuso rispetto alle già definite operazioni di somma e di moltipicazione per uno scalare. Si ottiene allora lo spazio vettoriale $L^{p}(\Omega)\subseteq [X]$.
$5.$ Si introduce in $L^{p}(\Omega)$ la norma precedente $||
$1.$ $||f||=0=>f=0$ q.o.
$2.$ $||g||=0=>g=0$ q.o
ma non necessariamente si ha $q=f$ e quindi se l'uguaglianza è intesa $\forall x \in R^n$ allora si avrebbero effettivamente due elementi nulli e le funzioni $p-$sommabili non formerebbero neppure una struttura di gruppo. (Non penso che in questo caso (non so in generale) abbia senso il concetto di uguaglianza q.o. dato che q.o. è un concetto particolare della misura, e due funzioni uguali q.o. non sono algebricamente uguali fra loro nel senso inteso prima, ovvero per ogni x). Con il concetto di classe di equivalenza si applica allora la norma alla classe di equivalenza e
\[||[f]||=0 \Leftrightarrow [f]=0\]
che vale solamente per un elemento, l'elemento nullo. A questo proposito si potrebbe allora introdurre lo spazio di Banach delle funzioni $p-$sommabili come:
$1.$ Sia l'aperto $\Omega \subseteq R^n$ e sia $X$ l'insieme delle funzioni $f:\Omega->R$.
$2.$ In questo insieme si introduce una relazione di equivalenza: $f\sim g \Leftrightarrow f=g$ q.o.
$3.$ Si introduce una struttura di spazio vettoriale ed in particolare si mostra che l'elemento nullo è unico (mentre nella terminologia del q.o. utile alla misura l'elemento nullo non sarebbe unico e non si potrebbe costruire con i vettori una struttura di gruppo). Si ottiene allora l'insieme $[X]$.
$4.$ Si individua in questo insieme il sottospazio delle classi $p-$sommabili (si definisce quindi un sottoinsieme per proprietà), vale a dire si dimostra che è chiuso rispetto alle già definite operazioni di somma e di moltipicazione per uno scalare. Si ottiene allora lo spazio vettoriale $L^{p}(\Omega)\subseteq [X]$.
$5.$ Si introduce in $L^{p}(\Omega)$ la norma precedente $||
||_p$ e si dimostra che si tratta effettivamente di una norma, ovvero indipendente dall'elemento rappresentativo della classe e valgono le proprietà della norma.
$6.$ Si mostra che è completo per il $p$ che si vuole.
Però se vado a leggere su wiki:
Allora la relazione di equivalenza corretta è $f \sim g\ \Leftrightarrow\ ||f-g||_p=0$? E' la stessa che ho inteso io?
La Lp-norma eredita la proprietà fondamentale delle norme, pur essendo a rigore una seminorma a causa della presenza di funzioni nulle quasi ovunque. Per eliminare queste funzioni, si identificano due funzioni f e g quando la loro differenza f − g ha norma nulla. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una norma a tutti gli effetti. Questo spazio normato è lo spazio Lp(A). wiki
Allora la relazione di equivalenza corretta è $f \sim g\ \Leftrightarrow\ ||f-g||_p=0$? E' la stessa che ho inteso io?
In generale, quando hai una seminorma \(\|\cdot\|\) su uno spazio vettoriale $X$, puoi introdurre la relazione di equivalenza \( x\sim y \Longleftrightarrow \|x-y\| = 0 \). (Puoi provare a dimostrare che questa è, effettivamente, una relazione di equivalenza.)
A questo punto \(\|\cdot\|\) è una norma sullo spazio quoziente \( X/\sim \).
Nel caso di $L^p$ avrai \( f\sim g \Longleftrightarrow \|f-g\|_p = 0 \), vale a dire se e solo se $f=g$ quasi ovunque.
A questo punto \(\|\cdot\|\) è una norma sullo spazio quoziente \( X/\sim \).
Nel caso di $L^p$ avrai \( f\sim g \Longleftrightarrow \|f-g\|_p = 0 \), vale a dire se e solo se $f=g$ quasi ovunque.
"5mrkv":
Allora la relazione di equivalenza corretta è $f \sim g\ \Leftrightarrow\ ||f-g||_p=0$? E' la stessa che ho inteso io?
Direi di sì, modulo l'osservazione che - per $f$ misurabile - vale l'equivalenza $||f||_p=0$ se e solo se $f=0$ quasi ovunque
(cioè $f\sim 0$).
EDIT. Non mi ero accorto che, nell'ultima riga, Rigel aveva già risposto
$1.$ Ma è corretto il motivo per cui senza classe di equivalenza si ha solo una seminorma? Nel senso che l'elemento nullo non è unico?
$2.$ Per la relazione di equivalenza, $||\cdot||_p$ è intesa come norma o come semplice funzione? Voglio dire, la proprietà di seminorma per $L^{p}(\Omega)$ non influenza la dimostrazione della classe di equivalenza in qualche punto che magari non arrivo a comprendere(?):
$a.$ $f \sim g <=> ||f-g||_p=||(-1)(g-f)||_p=|-1|||g-f||_p=||g-f||_p=0=>g\sim f$ simmetria
$b.$ $f\sim f<=>||f-f||_p=0$, $f \sim f => ||f-f||_p=||0||_p=0$, $||f-f||_p=||0||_p=0=>f\sim f$ riflessività
$c.$ $f\sim g,\ g\sim h =>f \sim h$, $||f-g||=0, ||g-h||=0$ e sommando a membro per la dis. triang.
$\ \ \ ||f-h||_p=||f-g-(h-g)||_p<=||f-g||_p+||h-g||_p=||f-g||_p+||g-h||_p=0$
$\ \ \ =>||f-h||_p=0$ dato che $||\cdot||_p >= 0$ transitività
E' corretto?
$2.$ Per la relazione di equivalenza, $||\cdot||_p$ è intesa come norma o come semplice funzione? Voglio dire, la proprietà di seminorma per $L^{p}(\Omega)$ non influenza la dimostrazione della classe di equivalenza in qualche punto che magari non arrivo a comprendere(?):
$a.$ $f \sim g <=> ||f-g||_p=||(-1)(g-f)||_p=|-1|||g-f||_p=||g-f||_p=0=>g\sim f$ simmetria
$b.$ $f\sim f<=>||f-f||_p=0$, $f \sim f => ||f-f||_p=||0||_p=0$, $||f-f||_p=||0||_p=0=>f\sim f$ riflessività
$c.$ $f\sim g,\ g\sim h =>f \sim h$, $||f-g||=0, ||g-h||=0$ e sommando a membro per la dis. triang.
$\ \ \ ||f-h||_p=||f-g-(h-g)||_p<=||f-g||_p+||h-g||_p=||f-g||_p+||g-h||_p=0$
$\ \ \ =>||f-h||_p=0$ dato che $||\cdot||_p >= 0$ transitività
E' corretto?
Mi sfugge un po' il tuo problema. Comunque:
a) Se consideri $||f||_p:=(\int|f|^p)^{1/p}$ sulle funzioni il problema è (come già detto ) che $||f||_p$ può essere zero
senza che $f$ sia zero - dunque $||f||_p$ non è una norma sullo spazio lineare $X$ delle funzioni misurabili per cui $||f||_p<+\infty$;
b) se quozienti $X$ per la relazione di equivalenza definita da $f\sim g$ se e solo se $f=g$ quasi ovunque, allora
hai un nuovo insieme $X_1=X/\sim$ i cui elementi sono le classi di equivalenza $[f]$ per $f$ in $X$;
è facile vedere che se $f\sim g$ allora $||f||_p=||g||_p$
per cui ha senso definire la norma $|| f_1 ||_p$ di un oggetto $f_1$ di $X_1$, ponendo
$||f_1||_p:=||f||_p$ per una qualunque $f$ tale che $f_1=[f]$ (se si cambia rappresentante il risultato non cambia).
c) la definizione del punto b) definisce una norma su $X_1$, in effetti se fai la verifica applicando la definizione vedi che ti riconduci alle proprietà della seminorma su $X$ - però per come hai definito la
relazione d'ordine hai anche guadagnato il fatto che $|| [f] ||_p=0$ se e solo se $[f]=0$.
Buona notte e buon Natale
a) Se consideri $||f||_p:=(\int|f|^p)^{1/p}$ sulle funzioni il problema è (come già detto ) che $||f||_p$ può essere zero
senza che $f$ sia zero - dunque $||f||_p$ non è una norma sullo spazio lineare $X$ delle funzioni misurabili per cui $||f||_p<+\infty$;
b) se quozienti $X$ per la relazione di equivalenza definita da $f\sim g$ se e solo se $f=g$ quasi ovunque, allora
hai un nuovo insieme $X_1=X/\sim$ i cui elementi sono le classi di equivalenza $[f]$ per $f$ in $X$;
è facile vedere che se $f\sim g$ allora $||f||_p=||g||_p$
per cui ha senso definire la norma $|| f_1 ||_p$ di un oggetto $f_1$ di $X_1$, ponendo
$||f_1||_p:=||f||_p$ per una qualunque $f$ tale che $f_1=[f]$ (se si cambia rappresentante il risultato non cambia).
c) la definizione del punto b) definisce una norma su $X_1$, in effetti se fai la verifica applicando la definizione vedi che ti riconduci alle proprietà della seminorma su $X$ - però per come hai definito la
relazione d'ordine hai anche guadagnato il fatto che $|| [f] ||_p=0$ se e solo se $[f]=0$.
Buona notte e buon Natale
$||f||_p$ può essere zero senza che $f$ sia zero
Ma è questo che non mi è chiaro. Il fatto che $||f||_p=0$ non implichi che $f=0$ significa che questo accade anche solo quando la funzione è nulla q.o.? Se è così è tutto chiaro ed è l'uguaglianza q.o. che mi creava confusione con la usuale uguaglianza!
è facile vedere che se $f\sim g$ allora $||f||_p=||g||_p$
Allora, $f\sim g \Leftrightarrow ||f-g||_p=0<=>f=g$ q.o., corretto?
"5mrkv":
Allora, $f\sim g \Leftrightarrow ||f-g||_p=0<=>f=g$ q.o., corretto?
Corretto - ma non l'avevamo già assodato qualche messaggio fa ?
Comunque il fatto è proprio questo: benché $||f||_p$ possa fare zero per funzioni $f$ non nulle, questo accade se e solo se
$f$ è nulla quasi ovunque. Identificando a zero le funzioni quasi ovunque nulle il problema sparisce.
Ora bisogna mostrare che $L^{p}(\Omega)$ è uno spazio di Banach per $1<= p <= \infty$. Nel caso $n=\infty$ la norma è data da $||f||_{\infty}=\i\n\f \{L \in \mathbb{R}: |f|<\L\}$. Prendo una successione di Cauchy in $u_n$. Il prof dice che:
$1.$ $|u_n|<=||u_n||_{\infty}$
$2.$ $|u_n-u_m|<=||u_n-u_m||_{\infty}$
E dato che $||u_n||_{\infty}$ è una successione di Cauchy in $\mathbb{R}$ allora anche $u_n$ converge. Così però non mi è chiarissimo. Sarebbe più chario se potessi scrivere:
$1.$ $u_n<=||u_n||_{\infty}$
$2.$ $|u_n-u_m|<= |{||u_n||_{\infty}-||u_m||_{\infty}}|=|L_n-L_m| $ (le parentesi graffe le ho messe perché altrimenti si vedeva male in latex)
Va bene anche così?
Nel caso $1<= p < \infty$ prendo una successione di Cauchy $u_n$. Scelgo un $n_j$ con $j=1,2,3,... $tale che:
$||u_{n}-u_{n_{1}}||<=\frac{1}{2^{1}}\ \forall n>=n_{1}$
$||u_{n}-u_{n_{2}}||<=\frac{1}{2^{2}}\ \forall n>=n_{2}$
$||u_{n}-u_{n_{3}}||<=\frac{1}{2^{3}}\ \forall n>=n_{3}$
$...$
$||u_{n}-u_{n_{j}}||<=\frac{1}{2^{j}}\ \forall n>=n_{j}$
Allora scegliendo opportunamente gli indici $n$ vale anche che:
$||u_{n_2}-u_{n_{1}}||<=\frac{1}{2^{1}}$
$||u_{n_3}-u_{n_{2}}||<=\frac{1}{2^{2}}$
$||u_{n_4}-u_{n_{3}}||<=\frac{1}{2^{3}}$
$...$
$||u_{n_{j+1}}-u_{n_{j}}||<=\frac{1}{2^{j}}$
E si ha ponendo $v_m=\sum_{j=1}^{m}|u_{n_{j+1}}-u_{n_{j}}|$ (che appartiene ad $L^{p}(\Omega)$) che $||v_m||_{p}<\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{2^{j}}<1$. Ora fino a qui ci sono, poi non capisco il perché dei passaggi successivi. Ovvero utilizza il lemma di Fatou due volte:
$1.$ $\int_{\Omega}lim_{j->\infty} \ \i\n\f\ v_{m}^{p}<=lim_{j->\infty} \ \i\n\f\ \int_{\Omega} v_{m}^{p}<=1$ e poi una seconda volta:
$2.$ $\int_{\Omega}lim_{j->\infty} \ \i\n\f\ |u_{n_{j}}-u_{n_{k}}|^p<=lim_{j->\infty} \ \i\n\f\ (||u_{n_{j}}-u_{n_{k}}||_{p})^p =>$ passando al limite $(||u_{n}-u_{n_{k}}||_{p})^p<=lim_{j->\infty} \ \i\n\f\ (||u_{n_{j}}-u_{n_{k}}||_{p})^p $
Nella $1$ dice che la successione $v_{m}^{p}$ è monotona crescente e formata da funzioni positive per cui il limite inf conicide con il limite, inoltre converge quasi ovunque ad una funzione in $L^{p}(\Omega)$. Nella $2$ dice che considera la successione $u_{n_{m+1}}=u_{n_{1}}+(u_{n_{2}}-u_{n_{1}})+...+(u_{n_{m+1}}-u_{n_{m}})$ come serie assoltamente convergente quasi ovunque per cui puntualmente convergente quasi ovunque ad una funzione $u$ misurabile (e non capisco come si tiri fuori questa cosa), e da qui giustifica il passaggio al limite con $j$.
Poi conclude. Essendo $u_n$ di Cauchy $||u_n-u_m||_{p}<\epsilon$ per $n,m >=N(\epsilon)$, allora se $n_{k}>=N(\epsilon)$ si ha $||u-u_{n_{k}}||_{p}<=\epsilon$ pertanto $u-u_{n_{k}} \in L^{p}(\Omega)$. Come pure $u=u_{n_{k}}+u-u_{n_{k}}$. Ma se $m>=N(\epsilon)$ allora $||u-u_m||_{p}<=||u-u_{n_{k}}||_{p}+||u_{n_{k}}-u_m||_{p}<=2 \epsilon$.
Ora, sperando di avere scritto tutto bene, quando inizia con i lemmi di fatou perdo il filo del discorso e non riesco a connettere logicamente le parti.
$1.$ $|u_n|<=||u_n||_{\infty}$
$2.$ $|u_n-u_m|<=||u_n-u_m||_{\infty}$
E dato che $||u_n||_{\infty}$ è una successione di Cauchy in $\mathbb{R}$ allora anche $u_n$ converge. Così però non mi è chiarissimo. Sarebbe più chario se potessi scrivere:
$1.$ $u_n<=||u_n||_{\infty}$
$2.$ $|u_n-u_m|<= |{||u_n||_{\infty}-||u_m||_{\infty}}|=|L_n-L_m| $ (le parentesi graffe le ho messe perché altrimenti si vedeva male in latex)
Va bene anche così?
Nel caso $1<= p < \infty$ prendo una successione di Cauchy $u_n$. Scelgo un $n_j$ con $j=1,2,3,... $tale che:
$||u_{n}-u_{n_{1}}||<=\frac{1}{2^{1}}\ \forall n>=n_{1}$
$||u_{n}-u_{n_{2}}||<=\frac{1}{2^{2}}\ \forall n>=n_{2}$
$||u_{n}-u_{n_{3}}||<=\frac{1}{2^{3}}\ \forall n>=n_{3}$
$...$
$||u_{n}-u_{n_{j}}||<=\frac{1}{2^{j}}\ \forall n>=n_{j}$
Allora scegliendo opportunamente gli indici $n$ vale anche che:
$||u_{n_2}-u_{n_{1}}||<=\frac{1}{2^{1}}$
$||u_{n_3}-u_{n_{2}}||<=\frac{1}{2^{2}}$
$||u_{n_4}-u_{n_{3}}||<=\frac{1}{2^{3}}$
$...$
$||u_{n_{j+1}}-u_{n_{j}}||<=\frac{1}{2^{j}}$
E si ha ponendo $v_m=\sum_{j=1}^{m}|u_{n_{j+1}}-u_{n_{j}}|$ (che appartiene ad $L^{p}(\Omega)$) che $||v_m||_{p}<\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{2^{j}}<1$. Ora fino a qui ci sono, poi non capisco il perché dei passaggi successivi. Ovvero utilizza il lemma di Fatou due volte:
$1.$ $\int_{\Omega}lim_{j->\infty} \ \i\n\f\ v_{m}^{p}<=lim_{j->\infty} \ \i\n\f\ \int_{\Omega} v_{m}^{p}<=1$ e poi una seconda volta:
$2.$ $\int_{\Omega}lim_{j->\infty} \ \i\n\f\ |u_{n_{j}}-u_{n_{k}}|^p<=lim_{j->\infty} \ \i\n\f\ (||u_{n_{j}}-u_{n_{k}}||_{p})^p =>$ passando al limite $(||u_{n}-u_{n_{k}}||_{p})^p<=lim_{j->\infty} \ \i\n\f\ (||u_{n_{j}}-u_{n_{k}}||_{p})^p $
Nella $1$ dice che la successione $v_{m}^{p}$ è monotona crescente e formata da funzioni positive per cui il limite inf conicide con il limite, inoltre converge quasi ovunque ad una funzione in $L^{p}(\Omega)$. Nella $2$ dice che considera la successione $u_{n_{m+1}}=u_{n_{1}}+(u_{n_{2}}-u_{n_{1}})+...+(u_{n_{m+1}}-u_{n_{m}})$ come serie assoltamente convergente quasi ovunque per cui puntualmente convergente quasi ovunque ad una funzione $u$ misurabile (e non capisco come si tiri fuori questa cosa), e da qui giustifica il passaggio al limite con $j$.
Poi conclude. Essendo $u_n$ di Cauchy $||u_n-u_m||_{p}<\epsilon$ per $n,m >=N(\epsilon)$, allora se $n_{k}>=N(\epsilon)$ si ha $||u-u_{n_{k}}||_{p}<=\epsilon$ pertanto $u-u_{n_{k}} \in L^{p}(\Omega)$. Come pure $u=u_{n_{k}}+u-u_{n_{k}}$. Ma se $m>=N(\epsilon)$ allora $||u-u_m||_{p}<=||u-u_{n_{k}}||_{p}+||u_{n_{k}}-u_m||_{p}<=2 \epsilon$.
Ora, sperando di avere scritto tutto bene, quando inizia con i lemmi di fatou perdo il filo del discorso e non riesco a connettere logicamente le parti.
Perdonami se mando solo delle osservazioni parziali (il tuo messaggio è piuttosto lungo ....)
Ti faccio notare che qui stai sottintendendo qualcosa, dato che $u_n$ sono funzioni mentre le norme sono numeri. Immagino che, per esempio nella 1, tu intenda $|u_n(x)|\leq||u_n||_\infty$ per quasi ogni $x$ e per ogni $n$ (perché è vero ?).
Direi che non va bene
La 1 bis è vera ma non dice tutto quello che (presumibilmente) serve -$u_n$ potrebbe tendere a $-\infty$ e verificare la 1 bis (ma non la 1).
Nella 2 bis il termine intermedio non va bene (può benissimo essere $||u_n||=||u_m||$ senza che $u_n=u_m$). Poi chi sono $L_n$ ed $L_m$ ? Il fatto che ci sia un $L$ nella definizione della norma infinito non ti dà una definizione di $L$ a partire da $u$ (ma forse stai omettendo qualche dettaglio).
Anche qui la conclusione scritta nella prima riga dovrebbe essere "$u_n(x)$ converge per quasi ogni $x$".
Più tardi (se ho tempo) darò un'occhiata al caso $p<+\infty$ ...
"5mrkv":
Ora bisogna mostrare che $L^{p}(\Omega)$ è uno spazio di Banach per $1<= p <= \infty$. Nel caso $n=\infty$ la norma è data da $||f||_{\infty}=\i\n\f \{L \in \mathbb{R}: |f|<\L\}$. Prendo una successione di Cauchy in $u_n$. Il prof dice che:
$1.$ $|u_n|<=||u_n||_{\infty}$
$2.$ $|u_n-u_m|<=||u_n-u_m||_{\infty}$
Ti faccio notare che qui stai sottintendendo qualcosa, dato che $u_n$ sono funzioni mentre le norme sono numeri. Immagino che, per esempio nella 1, tu intenda $|u_n(x)|\leq||u_n||_\infty$ per quasi ogni $x$ e per ogni $n$ (perché è vero ?).
"5mrkv":
E dato che $||u_n||_{\infty}$ è una successione di Cauchy in $\mathbb{R}$ allora anche $u_n$ converge. Così però non mi è chiarissimo. Sarebbe più chario se potessi scrivere:
$1.$ $u_n<=||u_n||_{\infty}$
$2.$ $|u_n-u_m|<= |{||u_n||_{\infty}-||u_m||_{\infty}}|=|L_n-L_m| $ (le parentesi graffe le ho messe perché altrimenti si vedeva male in latex)
Va bene anche così?
Direi che non va bene
La 1 bis è vera ma non dice tutto quello che (presumibilmente) serve -$u_n$ potrebbe tendere a $-\infty$ e verificare la 1 bis (ma non la 1).
Nella 2 bis il termine intermedio non va bene (può benissimo essere $||u_n||=||u_m||$ senza che $u_n=u_m$). Poi chi sono $L_n$ ed $L_m$ ? Il fatto che ci sia un $L$ nella definizione della norma infinito non ti dà una definizione di $L$ a partire da $u$ (ma forse stai omettendo qualche dettaglio).
Anche qui la conclusione scritta nella prima riga dovrebbe essere "$u_n(x)$ converge per quasi ogni $x$".
Più tardi (se ho tempo) darò un'occhiata al caso $p<+\infty$ ...
Quando scrivo $|u_n(x)|<=||u_n(x)||_{\infty}$ intendo una relazione del tipo $|f(x)|<=K$. Quello che non è charo e come mai la successione di Cauchy $u_n(x)$ converge. $\forall n\ u_n(x)$ è limitata superiormente dalla sua norma $||u_n(x)||_{\infty}=L_n$ ed $L_n$ è la successione di valori che restituisce la norma. Vorrei vedere qualcosa come $|u_n(x)-u_m(x)|<=|L_n-L_m|$ nel senso che a destra ho una successione di Cauchy di reali e quindi convergente, che mi fa convergere anche la sinistra dimostrando la completezza di $L^{\infty}(\Omega)$. Mentre $|u_n(x)-u_m(x)|<=||u_n(x)-u_m(x)||_{\infty}$ non mi è tanto chiara per la parte destra, ma solo perché differisce un poco dagli altri esempi di dimostrazione di completezza. Ma se così è corretta allora va bene lo stesso!
"5mrkv":
Quando scrivo $|u_n(x)|<=||u_n(x)||_{\infty}$ intendo una relazione del tipo $|f(x)|<=K$. Quello che non è charo e come mai la successione di Cauchy $u_n(x)$ converge. $\forall n\ u_n(x)$ è limitata superiormente dalla sua norma $||u_n(x)||_{\infty}=L_n$ ed $L_n$ è la successione di valori che restituisce la norma. Vorrei vedere qualcosa come $|u_n(x)-u_m(x)|<=|L_n-L_m|$ nel senso che a destra ho una successione di Cauchy di reali e quindi convergente, che mi fa convergere anche la sinistra dimostrando la completezza di $L^{\infty}(\Omega)$. Mentre $|u_n(x)-u_m(x)|<=||u_n(x)-u_m(x)||_{\infty}$ non mi è tanto chiara per la parte destra, ma solo perché differisce un poco dagli altri esempi di dimostrazione di completezza. Ma se così è corretta allora va bene lo stesso!
In effetti la relazione $|u_n(x)-u_m(x)|\leq ||u_n-u_m||_\infty$ (ATTENTO, non ha senso $||u_n(x)||_\infty$) stabilisce
che $u_n(x)$ è di Cauchy e quindi converge. Qui, come dicevo nel messaggio precedente, l'unica cosa a cui bisogna
prestare attenzione è per quali $x$ vale la disuguaglianza scritta sopra (non tutte le $x$ dato che la norma non è il sup
ma il sup essenziale).
Ma il problema sussiste anche con le classi di equivalenza?
Riguardo la parte con $p<\infty$ io farei così.
1) Costruisci $v_m$ come hai detto tu. Noti che $v_{m+1}\ge v_m$ (che vuol dire $v_{m+1}(x)\ge v_m(x)$ per quasi ogni $x$).
Dunque puoi definire $v(x):="sup"{v_m(x):m\in NN}=\lim_{m\to+\infty} v_m(x)$. Per definizione
$v(x)=\sum_{j=1}^\infty|u_{n_{j+1}}(x)-u_{n_j}(x)|$
e quindi
$||v-v_m||_p\le\sum_{i=m+1}^\infty||u_{n_{j+1}}-u_{n_j}||\le \sum_{i=m+1}^\infty 2^{-j}$ ($\to 0$ se $m\to\infty$)
da cui $v_m$ tende a $v$ in $L^p$
2) Dato che $u_{n_j}=u_{n_1}+(u_{n_2}-u_{n_1})+...+(u_{n_j}-u_{n_{j-1}})=u_{n_1}+v_j$
si ha che $u_{n_j}$ converge a $u_{n_1}+v$ - chiamiamo $u$ quest'ultima funzione.
3) Dato che $u_n$ è di Cauchy e che la sottosuccessione $u_{n_j}$ tende a $u$, allora tutta $u_n$ tende a $u$
- questo è un fatto generale per un generico spazio metrico. Infatti dato $\epsilon>0$ trovi
a) $\bar n$ tale che $||u_n-u_m||\le \epsilon/2$ per $n,m\ge \bar n$
b) $\bar j$ tale che $||u_{n_j}-u||\le \epsilon/2$ per $j\ge \bar j$
Allora se $n\ge \bar n$ puoi scegliere $j\ge \bar j$ con l'ulteriore proprietà $n_j\ge \bar n$ e ottenere
$||u_n-u||\le ||u_n-u_{n_j}||+||u_{n_j}-u||\le\epsilon$.
Vedi se così la capisci.
1) Costruisci $v_m$ come hai detto tu. Noti che $v_{m+1}\ge v_m$ (che vuol dire $v_{m+1}(x)\ge v_m(x)$ per quasi ogni $x$).
Dunque puoi definire $v(x):="sup"{v_m(x):m\in NN}=\lim_{m\to+\infty} v_m(x)$. Per definizione
$v(x)=\sum_{j=1}^\infty|u_{n_{j+1}}(x)-u_{n_j}(x)|$
e quindi
$||v-v_m||_p\le\sum_{i=m+1}^\infty||u_{n_{j+1}}-u_{n_j}||\le \sum_{i=m+1}^\infty 2^{-j}$ ($\to 0$ se $m\to\infty$)
da cui $v_m$ tende a $v$ in $L^p$
2) Dato che $u_{n_j}=u_{n_1}+(u_{n_2}-u_{n_1})+...+(u_{n_j}-u_{n_{j-1}})=u_{n_1}+v_j$
si ha che $u_{n_j}$ converge a $u_{n_1}+v$ - chiamiamo $u$ quest'ultima funzione.
3) Dato che $u_n$ è di Cauchy e che la sottosuccessione $u_{n_j}$ tende a $u$, allora tutta $u_n$ tende a $u$
- questo è un fatto generale per un generico spazio metrico. Infatti dato $\epsilon>0$ trovi
a) $\bar n$ tale che $||u_n-u_m||\le \epsilon/2$ per $n,m\ge \bar n$
b) $\bar j$ tale che $||u_{n_j}-u||\le \epsilon/2$ per $j\ge \bar j$
Allora se $n\ge \bar n$ puoi scegliere $j\ge \bar j$ con l'ulteriore proprietà $n_j\ge \bar n$ e ottenere
$||u_n-u||\le ||u_n-u_{n_j}||+||u_{n_j}-u||\le\epsilon$.
Vedi se così la capisci.
5mrkv:
Ma il problema sussiste anche con le classi di equivalenza?
Non mi è chiaro di quale "problema" parli.
Comunque (forse a questo ti riferisci) in tutti i discorsi fatti fin'ora (anche in quelli del mio ultimo messaggio) si sottintende che quando si parla di una funzione $u$ o di una successione $u_n$ si stanno in realtà considerando dei rappresentanti delle rispettive classi di equivalenza, e che, se si cambiassero i rappresentanti, tutto rimarrebbe eguale.
Per esempio nel caso di $L^\infty$ si dovrebbe dire:
a) prendiamo una successione di Cauchy $(u_n)$ in $L^\infty$;
b) per ogni $n$ prendiamo un rappresentante $f_n$ di $u_n$
c) dato che $||u_n||_\infty="inf"{L:|f_n(x)|\le L " per quasi ogni " x}$ esiste un insieme $E_n$ di misura nulla tale che
$|f_n(x)|\le ||u_n||_\infty$ per ogni $x$ fuori da $E_n$
d) posto $E:=\bigcup_n E_n$, allora $E$ è trascurabile e vale $|f_n(x)|\le ||u_n||_\infty$ per ogni $x$ fuori da $E$ e per ogni $n$
e) Se $x\notin E$ allora $(f_n(x))$ è una successione di Cauchy in $RR$ e quindi converge a una $f(x)$. Posso estendere
$f(x)$ in modo arbitrario su $E$ - in particolare $f$ è misurabile.
f) dato che le norme $||u_n||_\infty$ sono equilimitate da una opportuna costante $L$ (essendo la successione di Cauchy)
si ricava $|f_n(x)|\le L$ per ogni $x$ fuori da $E$ e per ogni $n$; ne segue $|f(x)|\le L$ per ogni $x$ fuori da $E$ e quindi se $u$ è la classe di equivalenza di $f$ si ha $||u||_\infty\le L$ (cioè $u\in L^\infty$).
EDIT: HO MODIFICATO LEGGERMENTE QUANTO SEGUE
g) a questo punto (facendo come si era detto nei messaggi precedenti) si prova che $f_n\to f$ uniformente in su $E$, cioè che $"sup"_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to0$ per $n\to\infty$. Questo implica che $||u_n-u||_\infty\to 0$ cioè che $u_n$ converge
a $u$ in $L^\infty$.
Grazie 
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