Costruire una misura
Ciao a tutti, il mio dubbio è su come si costruisce concretamente una misura (spero di aver postato nella sezione giusta).
Per esempio consideriamo lo spazio $\Sigma=\{1,2,...,N\}^NN$ delle successioni su N lettere.
Qui è definita un topologia: una base di aperti è data dai cilindri del tipo
$C_n(a_0,a_1,...,a_n) = \{x=(x_k)_{k\in NN}\in\Sigma | x_0=a_0, x_1=a_1, ..., x_n=a_n \}$ .
Dunque è definita pure la $\sigma$-algebra di Borel di $\Sigma$.
Si vuole definire una misura sui boreliani, detta misura di Markov. Per farlo non si riesce a scrivere esplicitamente la definizione della misura di ogni boreliano, ma ci si limita ai cilindri.
Precisamente data $P=(P_{i,j})_{i,j=1..N}$ una matrice stocastica e $p=(p_i)_{i=1..N}$ un vettore stocastico tali che $p*P=p$, si pone
$\mu(C_n(a_0,a_1,...,a_n)) := p_{a_0}*P_{a_0,a_1}*P_{a_1,a_2}*...*P_{a_{n-1},a_n}$ .
Si dice poi che $\mu$ si può estendere a tutti i boreliani utilizzando qualche teorema di estensione di teoria della misura (Carathéodory o Kolmogorov credo).
Ciò che non capisco è come si fa a far vedere che questa $\mu$ è "ben fatta", nel senso che soddisfa le ipotesi per poter essere estesa.
Per esempio consideriamo lo spazio $\Sigma=\{1,2,...,N\}^NN$ delle successioni su N lettere.
Qui è definita un topologia: una base di aperti è data dai cilindri del tipo
$C_n(a_0,a_1,...,a_n) = \{x=(x_k)_{k\in NN}\in\Sigma | x_0=a_0, x_1=a_1, ..., x_n=a_n \}$ .
Dunque è definita pure la $\sigma$-algebra di Borel di $\Sigma$.
Si vuole definire una misura sui boreliani, detta misura di Markov. Per farlo non si riesce a scrivere esplicitamente la definizione della misura di ogni boreliano, ma ci si limita ai cilindri.
Precisamente data $P=(P_{i,j})_{i,j=1..N}$ una matrice stocastica e $p=(p_i)_{i=1..N}$ un vettore stocastico tali che $p*P=p$, si pone
$\mu(C_n(a_0,a_1,...,a_n)) := p_{a_0}*P_{a_0,a_1}*P_{a_1,a_2}*...*P_{a_{n-1},a_n}$ .
Si dice poi che $\mu$ si può estendere a tutti i boreliani utilizzando qualche teorema di estensione di teoria della misura (Carathéodory o Kolmogorov credo).
Ciò che non capisco è come si fa a far vedere che questa $\mu$ è "ben fatta", nel senso che soddisfa le ipotesi per poter essere estesa.
Risposte
Beh, usualmente si fanno i conti a mano, cioè si verifica che la funzione \(\mu\) soddisfi le ipotesi dei teoremi di estensione usando la definizione e qualche passaggio.
Però, non avendo idea di come funzionino le matrici stocastiche, più di questo non so dirti.
Però, non avendo idea di come funzionino le matrici stocastiche, più di questo non so dirti.
Ma quale può essere un buon teorema di estensione da usare? Mi pare ce ne siano molti, ma non trovo quello che fa al caso mio. Per esempio Carathéodory richiede che la $\mu$ sia definita su un'algebra e qui soddisfi l'additività numerabile; ma i cilindri non formano un'algebra!
Ho trovato delle note su internet in cui si dice che basta definire la candidata misura $\mu$ su una semi-algebra. Ovvero una classe di sottinsiemi
chiusa per intersezione finita ,
tale che il complementare di ciascuno si possa scrivere come unione finita di altri .
I cilindri formano una semi-algebra, quindi questo risultato farebbe al caso mio..
chiusa per intersezione finita ,
tale che il complementare di ciascuno si possa scrivere come unione finita di altri .
I cilindri formano una semi-algebra, quindi questo risultato farebbe al caso mio..
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