Costruire una funzione continua con opportuni requisiti
Sono alle prese con un altro esercizio sulla assoluta continuità, ma come tutti gli esercizi costruttivi mi sembra sempre di non sapere dove sbattere la testa 
Il testo dell'esercizio riporta:
Provare che esiste una funzione continua e strettamente crescente $f:[0,1]\rightarrow R$ tale che $f'(x)=0$ quasi ovunque.
Dedurre che non può essere assolutamente continua.
Fino ad ora il mio lavoro è il seguente:
Per quanto riguarda la costruzione della funzione ho pensato di garantire la stretta crescenza definendola come una somma infinita di un'opportuna successione.
Avevo pensato ad una successione di funzioni crescenti e costanti a pezzi, se riesco a concretizzare queste idea aggiornerò il post per ora è molto nebulosa questa idea e qualsiasi aiuto è più che ben accetto.
Per la seconda parte invece, supponendo di aver trovato la suddetta funzione.
Io ho provato a ragionare per assurdo, se $f$ è assolutamente continua (e per ipotesi definita su un intervallo compatto a valori reali) per il teorema fondamentale del calcolo segue che esiste la sua derivata $f'$ ed è definita quasi ovunque e integrabile nel senso di Lebesgue.E fin qui tutto bene.
Inoltre però dovrebbe anche valere :
$f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)dt \qquad \forall x \in [a,b]$.
Nel nostro caso però questa uguaglianza diventerebbe:
$f(x)=f(a)+\int_a^x 0 dt \qquad \forall x \in [a,b]$ quindi $f(x)=f(a)$. ma questa significa che la funzione f è costante mentre per ipotesi doveva essere strettamente crescente.
A questo punto ho trovato l'assurdo e ne segue che la mia funzione non può essere assolutamente continua.
E' giusto il mio ragionamento?
Qualcuno può aiutarmi un po' con la ricerca/costruzione di questa funzione?
Il testo dell'esercizio riporta:
Provare che esiste una funzione continua e strettamente crescente $f:[0,1]\rightarrow R$ tale che $f'(x)=0$ quasi ovunque.
Dedurre che non può essere assolutamente continua.
Fino ad ora il mio lavoro è il seguente:
Per quanto riguarda la costruzione della funzione ho pensato di garantire la stretta crescenza definendola come una somma infinita di un'opportuna successione.
Avevo pensato ad una successione di funzioni crescenti e costanti a pezzi, se riesco a concretizzare queste idea aggiornerò il post per ora è molto nebulosa questa idea e qualsiasi aiuto è più che ben accetto.
Per la seconda parte invece, supponendo di aver trovato la suddetta funzione.
Io ho provato a ragionare per assurdo, se $f$ è assolutamente continua (e per ipotesi definita su un intervallo compatto a valori reali) per il teorema fondamentale del calcolo segue che esiste la sua derivata $f'$ ed è definita quasi ovunque e integrabile nel senso di Lebesgue.E fin qui tutto bene.
Inoltre però dovrebbe anche valere :
$f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)dt \qquad \forall x \in [a,b]$.
Nel nostro caso però questa uguaglianza diventerebbe:
$f(x)=f(a)+\int_a^x 0 dt \qquad \forall x \in [a,b]$ quindi $f(x)=f(a)$. ma questa significa che la funzione f è costante mentre per ipotesi doveva essere strettamente crescente.
A questo punto ho trovato l'assurdo e ne segue che la mia funzione non può essere assolutamente continua.
E' giusto il mio ragionamento?
Qualcuno può aiutarmi un po' con la ricerca/costruzione di questa funzione?
Risposte
La seconda parte è ok.
Per la prima parte ci si può basare sull'esempio classico dato dalla funzione di Cantor-Vitali (meglio nota come scala del diavolo); si tratta di una funzione monotona crescente (ma non in senso stretto) con le caratteristiche richieste.
Per la prima parte ci si può basare sull'esempio classico dato dalla funzione di Cantor-Vitali (meglio nota come scala del diavolo); si tratta di una funzione monotona crescente (ma non in senso stretto) con le caratteristiche richieste.
Provo a rispondere a caldo:
la scala del diavolo è continua e costante a pezzi ma non è strettamente crescente e non ha valori in R.Chiamamola $\phi(t)$
Se considerassi $f_n(x)=nx\phi(t)$ mi pare che sia una successione di funzioni continue, crescenti (non è richiesto che lo siano strettamente) e costanti a pezzi.
Se poi considero $f(x)=\sum f_n(x)$ ha tutte le caratteristiche che chiedo mi pare somma di funzioni continue è continua ma per avere la assicurata la stretta crescenza è sufficiente?
Non mi torna tutto e sono sicura che qualcosa non quadra però l'idea almeno mi sembra avere una sua validità.
la scala del diavolo è continua e costante a pezzi ma non è strettamente crescente e non ha valori in R.Chiamamola $\phi(t)$
Se considerassi $f_n(x)=nx\phi(t)$ mi pare che sia una successione di funzioni continue, crescenti (non è richiesto che lo siano strettamente) e costanti a pezzi.
Se poi considero $f(x)=\sum f_n(x)$ ha tutte le caratteristiche che chiedo mi pare somma di funzioni continue è continua ma per avere la assicurata la stretta crescenza è sufficiente?
Non mi torna tutto e sono sicura che qualcosa non quadra però l'idea almeno mi sembra avere una sua validità.
Non ho capito come costruisci la funzione (ci sono \(t\) e \(x\) mischiati).
Per seguire la strada da te proposta, penso sia necessario costruire una funzione del tipo
\[
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-k} \phi(3^{-k} x).
\]
Per seguire la strada da te proposta, penso sia necessario costruire una funzione del tipo
\[
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-k} \phi(3^{-k} x).
\]
Si, ho fatto confusione nel cercare di non mischiare i vari argomenti delle funzioni.
Il corefficiente $2^{-k}$ è per assicurare la crescita controllata della sommatoria? però la funzione si mantiene crescente perchè tale e la Scala di Cantor, ma in che modo posso dire di avere con certezza la stretta crescenza?
Da quello che pensavo io direi che il coefficiente nell'argomento della scala fa variare il suo valore intervalli sempre minori (e di ampiezza tendenti a zero) in modo che si mantenga la crescenza ma in maniera stretta.E' corretto?
Mi rendo conto che forse sono domande banali ma questo genere di problemi mi manda completamente nel pallone.
Il corefficiente $2^{-k}$ è per assicurare la crescita controllata della sommatoria? però la funzione si mantiene crescente perchè tale e la Scala di Cantor, ma in che modo posso dire di avere con certezza la stretta crescenza?
Da quello che pensavo io direi che il coefficiente nell'argomento della scala fa variare il suo valore intervalli sempre minori (e di ampiezza tendenti a zero) in modo che si mantenga la crescenza ma in maniera stretta.E' corretto?
Mi rendo conto che forse sono domande banali ma questo genere di problemi mi manda completamente nel pallone.
Per dimostrare che \(f\) è strettamente crescente devi far vedere che, se \(0\leq x < y \leq 1\), allora esiste \(n\in\mathbb{N}\) tale che \(f_n(x) < f_n(y)\), cioè tale che \(\phi(3^{-n}x) < \phi(3^{-n} y)\), ovvero i punti \(3^{-n}x\) e \(3^{-n}y\) non stanno su uno dei pianetti dove \(\phi\) è costante. (PS: non ho controllato che la cosa funzioni; se così non è, sarà necessaria qualche modifica.)
Il fattore \(2^{-n}\) nella serie serve a far convergere totalmente (quindi uniformemente) la serie di funzioni.
Il fattore \(2^{-n}\) nella serie serve a far convergere totalmente (quindi uniformemente) la serie di funzioni.
Quello che sto per dire è tutto fuorchè rigoroso ma mi pare che la cosa non funzioni così come è posta e sto cercando di fissare perlomeno le mie poche e sconclusionate idee.
O almeno io non sono riuscita a dimostrarlo, ho provato quindi a vedere se trovavo qualche punto dove non funzionasse.Se prendo per esempio
:
x=1/3 e y=2/3 ogni valore di k mi porta i due in un intervallo ternario a cui la funzione attribuisce lo stesso valore in R se non sbaglio quindi in quel caso non è crescente.O mi confondo?
Mi chiedevo quindi se invece di $3^{-k}$ pongo $2^{-k}$?
In questo modo per qualsiasi valore di x e y che prendo essi non coincideranno mai con gli estremi di alcun intervallo e potrò sempre trovare un valore di k che permetta all'altro estremo di stare su un altro intervallo visto che 1/2 è maggiore.
O almeno io non sono riuscita a dimostrarlo, ho provato quindi a vedere se trovavo qualche punto dove non funzionasse.Se prendo per esempio
:
x=1/3 e y=2/3 ogni valore di k mi porta i due in un intervallo ternario a cui la funzione attribuisce lo stesso valore in R se non sbaglio quindi in quel caso non è crescente.O mi confondo?
Mi chiedevo quindi se invece di $3^{-k}$ pongo $2^{-k}$?
In questo modo per qualsiasi valore di x e y che prendo essi non coincideranno mai con gli estremi di alcun intervallo e potrò sempre trovare un valore di k che permetta all'altro estremo di stare su un altro intervallo visto che 1/2 è maggiore.
Probabilmente hai ragione, infatti quel \(3^n\) mi sembrava potesse dare di questi problemi.
Col \(2^n\) (o qualsiasi altra cosa che non sia una potenza di \(3\)) penso che funzioni, prova a verificare.
Col \(2^n\) (o qualsiasi altra cosa che non sia una potenza di \(3\)) penso che funzioni, prova a verificare.
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