Costanti e unità immaginaria

[Rob995]

Ciao ragazzi studiando le oscillazioni smorzate in fisica I ho avuto un dubbio matematico. Non contestualizzerò anche per non tirarla troppo per le lunghe: mi sto semplicemente chiedendo, se per nostra volontà decidiamo di definire una somma di costanti $A+ B= xo*sin\theta$ perché allora ne dovrebbe seguire che $i*(A- B)= xo*cos\theta$ dove i è l'unità immaginaria?

[dissonance]

Detto cosi', non segue da nessuna parte. Ma sicuramente quelle due costanti vengono dall'integrazione di un oscillatore armonico smorzato, e quindi sono in qualche modo relazionate.

Purtroppo devi per forza contestualizzare altrimenti non ti si puo' rispondere.

[Rob995]

Ah! Dato che ancora non sono pratico con gli immaginari credevo fosse di conseguenza.. Non so che dirti allora perché il libro che sto leggendo, il Mencuccini-Silvestrini pone questi due valori affiancati senza darne spiegazioni, per cui io ho pensato che il primo fosse un valore assegnato a propria discrezione e che il secondo valore venisse di conseguenza.. Fra l'altro anche il mio professore li ha introdotti senza giustificarli... Non so che dirti perché tutto il discorso parte dall'equazione del moto, anche se così diventa una discussione fisica, però il discorso è comunque del tutto matematico: si constata insomma che $m*(dx^2/dt^2)= -k*x- b*((dx)/(dt))$ a secondo membro c'è la forza di richiamo della molla più la forza di attrito che però dipende qui dalla velocità, come fosse un attrito viscoso. La soluzione di questa equazione c'è scritto è pari a $x= A*e^(\alpha1*t)+ B*e^(\alpha2*t)$ dove $\alpha1$ ed $\alpha2$ sono le soluzioni dell'equazione corrispondente $\alpha^2+ b/m *\alpha+ k/m= 0$ .. Ora nello sviluppo di quest'ultima equazione si potrebbe avere un valore del $\Delta$ anche negativo, e sviluppando questo caso si inizia a lavorare con gli immaginari ponendo le condizioni di cui sopra, quelle della mia domanda, e arrivando a concludere che $x= xo*e^(-b*t/(2*m))*sin(sqrt((k/m)-(b^2/(4*m^2)))*t+ \theta)$ insomma non mi interessa che tu faccia i calcoli mi sembrerebbe anche assurdo, ho fatto tutto questo discorso proprio per chiarire il punto. Mi serve solo sapere se secondo te, secondo chi legge, abbia un nesso logico con questo discorso la sostituzione che ha causato il mio dubbio. Cioè, con quale criterio, contando che $A$ e $B$ sono due costanti del tutto generiche possiamo fare l'assegnamento $A+B= xo*sin\theta$?? E perché a questo punto allora $i*(A- B)= xo*cos\theta$, ci dev'essere un legame tra queste due equazioni no?? Grazie per il vostro tempo.

[Rob995]

Ah e dico anche che $xo$ e $\theta$ sono valori che spuntano per la prima volta in questo assegnamento, anche loro senza mai essere giustificati..

[dissonance]

$A$ e $B$ sono costanti da determinarsi. In qualsiasi modo tu le scelga, la funzione $x=x(t)$ che hai scritto su sarà soluzione dell'equazione differenziale. Uno pero' potrebbe volere esprimere $x=x(t)$ mediante una formula che sia interpretabile fisicamente in modo più chiaro. Allora decide di cambiare costanti: invece di esprimere la soluzione in termini di $A$ e $B$, sceglie di esprimerla in termini di $x_0$ e $\theta$, dove la relazione che collega le due coppie di costanti è quella che hai scritto sopra. Alla fine della fiera, costui avrà ricavato per la soluzione generale $x=x(t)$ una formula più bellina. E' solo cosmetics, naturalmente, ma anche l'occhio vuole la sua parte, specie in fisica.

[Rob995]

Mmh, quindi comunque c'è un legame tra $A+ B$ e $i*(A- B)$ ? Cioè se pongo che $(A+ B)= xo*sen\theta$ ne segue che $i*(A- B)$ ... questo ancora non l'ho chiaro..

[dissonance]

No, no, è più facile. Hai due costanti, $A$ e $B$. Sono del tutto arbitrarie. Allora tu imponi una condizione: \[\tag{1}A+ B = x_0 \sin \theta.\]
A questo punto hai due variabili ($A$ e $B$) e una sola condizione su di esse. Allora imponi una seconda condizione:
\[\tag{2} A-B=\frac{1}{i}x_0 \cos \theta.\]
Adesso hai due condizioni per due variabili. E quindi $A$ e $B$ sono completamente individuate e sono funzione di $(x_0, \theta)$. A questo punto ti puoi riscrivere la formula che avevi, in cui comparivano $A$ e $B$, in termini di $x_0$ e $\theta$. Fine.

Lascia stare quello che ho detto nel primo post, non sapendo di cosa si parlava ho detto una cosa che ti potrebbe aver fatto confondere.

[Rob995]

Ok grazie per sembrarmi strano mi sembra strano, due costanti che dipendono dall'unità immaginaria... Comunque mi tengo il dubbio l'importante per ora è che ho capito questo.. D'altronde la prova ce l'ho domani e penso di avere problemi sistematici ben più gravi di questo.. Tipo il momento angolare, che casino! comunque grazie veramente.

[dissonance]

Ma l'unità immaginaria è una costante. Tieni presente che \(A\) e \(B\) sono numeri complessi.

[Rob995]

Credo seriamente di aver capito sai... È solo che non sono pratico di questo argomenti quindi non so se certi passaggi sono logicamente coerenti.. Ok grazie.