Costanti delle equazioni differenziali
Salve a tutti,
recentemente ho svolto una serie di problemi di Cauchy, nei quali dopo aver risolto l'equazione differenziale riportata nel testo era necessario calcolare il valore della costante sfruttando la condizione iniziale (si tratta di equazioni differenziali lineari del secondo ordine)... La questione è che spesso, soprattutto nella risoluzione delle equazioni di Bernoulli, trovo una soluzione in funzione di una certa variabile, per esempio:
$z(x) = .. . . . . . . .$
dove:
$z(x) = y^(1/2) $
Sostituendo la y e sfruttando la condizione iniziale ottengo una quantità elevata al quadrato in cui compare la costante da calcolare ... Quando risolvo l'equazione risultante si ha una soluzione del tipo:
c= $\pm ... $ , cioè trovo due possibili valori per c... Tuttavia il teorema di esistenza ed unicità locale stabilisce che la soluzione nell'intorno del punto fornito dalla condizione iniziale deve essere unica... Come stabilisco quale valore della c prendere e quale escludere?
Grazie mille anticipatamente
recentemente ho svolto una serie di problemi di Cauchy, nei quali dopo aver risolto l'equazione differenziale riportata nel testo era necessario calcolare il valore della costante sfruttando la condizione iniziale (si tratta di equazioni differenziali lineari del secondo ordine)... La questione è che spesso, soprattutto nella risoluzione delle equazioni di Bernoulli, trovo una soluzione in funzione di una certa variabile, per esempio:
$z(x) = .. . . . . . . .$
dove:
$z(x) = y^(1/2) $
Sostituendo la y e sfruttando la condizione iniziale ottengo una quantità elevata al quadrato in cui compare la costante da calcolare ... Quando risolvo l'equazione risultante si ha una soluzione del tipo:
c= $\pm ... $ , cioè trovo due possibili valori per c... Tuttavia il teorema di esistenza ed unicità locale stabilisce che la soluzione nell'intorno del punto fornito dalla condizione iniziale deve essere unica... Come stabilisco quale valore della c prendere e quale escludere?
Grazie mille anticipatamente
Risposte
Forse è meglio fare un esempio: consideriamo il problema di Cauchy:
$$ \begin{cases} y'=\displaystyle\frac{2x}{1+x^2}\cdot y+\frac{6x}{(1+x^2)^2}\cdot \sqrt y,\quad y\ge0 & \\y(0)=1
\end{cases}.$$
Il problema di Cauchy assegnato è relativo ad una equazione differenziale del primo ordine, non lineare di Bernulli, la quale è già in forma normale, cioè nella forma $y'(x)=f(x,y(x)),$ con secondo membro definito da:
\begin{align*}
f(x,y):=\frac{2x}{1+x^2}\cdot y+\frac{6x}{(1+x^2)^2}\cdot \sqrt y,
\end{align*}
pe $(x;y)\in\Omega:=\{(x;y)\in\R^2:y\ge0\}.$ Dato che $f$ non è di class $C^{1}(\Omega),$ non possiamo concludere alcunchè circa la locale lipshitzianità rispetto alla seconda variabile in $ \Omega;$ tuttavia considerando l'insieme $(x;y)\in\Omega_1:=\{(x;y)\in\R^2:y>0\},$ otteniamo che $f$ è di classe $C^{\infty} (\Omega_1 ),$ il che implica la locale lipshitzianità rispetto alla seconda variabile, pertanto il teorema di esistenza ed unicità locale si applica e garantisce l'unicità della soluzione $y(x)$ del problema di Cauchy in un intorno del punto iniziale $0.$ Supposto dunque $\sqrt{y}\ne0,$ cioè $y\ne0 $ (cosa lecita in quanto in un intorno del punto iniziale $0$ la variabile $y$ è sicuramente diversa da zero essendo $ y(0)=1),$ dividiamo ambo i membri dell'equazione differenziale per $\sqrt{y}:$
\begin{align*}
\frac{y(x)'}{\sqrt{ y(x)}}=\frac{2x}{1+x^2}\cdot \sqrt{ y(x)} +\frac{6x}{(1+x^2)^2};\quad\mbox{posto ora }\quad v(x)=\sqrt{ y(x)}\quad \Rightarrow\quad v'(x)=\frac{ y'(x)}{2\sqrt{ y(x)}},
\end{align*}
avremo evidentemente $v(x)\ge0$ e il problema di Cauchy assegnato si trasforma nel problema seguente:
\begin{align*}
\begin{cases} v'(x)=\displaystyle\frac{x}{1+x^2}\cdot v(x) +\frac{3x}{(1+x^2)^2} & \\v(0)=1
\end{cases}
\end{align*}
che è un problema di Cauchy relativo ad una equazione differenzaile lineare a coefficienti non costanti, che scritta in forma normale risulta:
\begin{align*}
v'(x)-\frac{x}{1+x^2}\cdot v(x)=\frac{3x}{(1+x^2)^2} ,\quad\mbox{con}\quad a(x)=-\frac{x}{1+x^2},\qquad b(x)=\frac{3x}{(1+x^2)^2};
\end{align*}
moltiplicando ambo i membri per $e^{A(x)}=e^{\int a(x)dx}=(1+x^2)^{-1/2},$ integrando si ottiene
\begin{align*}
\int(1+x^2)^{-1/2}&\cdot v'(x)-\frac{x(1+x^2)^{-1/2}}{1+x^2}\cdot v(x) \,\,dx=\int\frac{3x(1+x^2)^{-1/2}}{(1+x^2)^2}\,\,dx\\ &\Leftrightarrow\quad \int\left((1+x^2)^{-1/2}\cdot v (x)\right)' \,\,dx=\int\frac{3x}{(1+x^2)^{5/2}}\,\,dx\\
&\Leftrightarrow\quad\frac{v (x)}{ \sqrt{1+x^2}} =-\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} +c=\frac{c(1+x^2)^{2}-1}{(1+x^2)^{3/2}} \\
&\Leftrightarrow\quad v (x) =\frac{c(1+x^2)^{3/2}-1}{ 1+x^2 }\\
&\Leftrightarrow\quad 1=(c-1) \quad \Leftrightarrow\quad c=2\\
&\Leftrightarrow\quad v (x) =\frac{2(1+x^2)^{3/2}-1}{ 1+x^2 }\\
&\Leftrightarrow\quad y (x) = \pm\left(\frac{2(1+x^2)^{3/2}-1}{ 1+x^2 }\right)^2,\quad\mbox{poichè }\,\,v(x)\ge0\\
& y(x) =\left(\frac{2(1+x^2)^{3/2}-1}{ 1+x^2 }\right)^2.
\end{align*}
$$ \begin{cases} y'=\displaystyle\frac{2x}{1+x^2}\cdot y+\frac{6x}{(1+x^2)^2}\cdot \sqrt y,\quad y\ge0 & \\y(0)=1
\end{cases}.$$
Il problema di Cauchy assegnato è relativo ad una equazione differenziale del primo ordine, non lineare di Bernulli, la quale è già in forma normale, cioè nella forma $y'(x)=f(x,y(x)),$ con secondo membro definito da:
\begin{align*}
f(x,y):=\frac{2x}{1+x^2}\cdot y+\frac{6x}{(1+x^2)^2}\cdot \sqrt y,
\end{align*}
pe $(x;y)\in\Omega:=\{(x;y)\in\R^2:y\ge0\}.$ Dato che $f$ non è di class $C^{1}(\Omega),$ non possiamo concludere alcunchè circa la locale lipshitzianità rispetto alla seconda variabile in $ \Omega;$ tuttavia considerando l'insieme $(x;y)\in\Omega_1:=\{(x;y)\in\R^2:y>0\},$ otteniamo che $f$ è di classe $C^{\infty} (\Omega_1 ),$ il che implica la locale lipshitzianità rispetto alla seconda variabile, pertanto il teorema di esistenza ed unicità locale si applica e garantisce l'unicità della soluzione $y(x)$ del problema di Cauchy in un intorno del punto iniziale $0.$ Supposto dunque $\sqrt{y}\ne0,$ cioè $y\ne0 $ (cosa lecita in quanto in un intorno del punto iniziale $0$ la variabile $y$ è sicuramente diversa da zero essendo $ y(0)=1),$ dividiamo ambo i membri dell'equazione differenziale per $\sqrt{y}:$
\begin{align*}
\frac{y(x)'}{\sqrt{ y(x)}}=\frac{2x}{1+x^2}\cdot \sqrt{ y(x)} +\frac{6x}{(1+x^2)^2};\quad\mbox{posto ora }\quad v(x)=\sqrt{ y(x)}\quad \Rightarrow\quad v'(x)=\frac{ y'(x)}{2\sqrt{ y(x)}},
\end{align*}
avremo evidentemente $v(x)\ge0$ e il problema di Cauchy assegnato si trasforma nel problema seguente:
\begin{align*}
\begin{cases} v'(x)=\displaystyle\frac{x}{1+x^2}\cdot v(x) +\frac{3x}{(1+x^2)^2} & \\v(0)=1
\end{cases}
\end{align*}
che è un problema di Cauchy relativo ad una equazione differenzaile lineare a coefficienti non costanti, che scritta in forma normale risulta:
\begin{align*}
v'(x)-\frac{x}{1+x^2}\cdot v(x)=\frac{3x}{(1+x^2)^2} ,\quad\mbox{con}\quad a(x)=-\frac{x}{1+x^2},\qquad b(x)=\frac{3x}{(1+x^2)^2};
\end{align*}
moltiplicando ambo i membri per $e^{A(x)}=e^{\int a(x)dx}=(1+x^2)^{-1/2},$ integrando si ottiene
\begin{align*}
\int(1+x^2)^{-1/2}&\cdot v'(x)-\frac{x(1+x^2)^{-1/2}}{1+x^2}\cdot v(x) \,\,dx=\int\frac{3x(1+x^2)^{-1/2}}{(1+x^2)^2}\,\,dx\\ &\Leftrightarrow\quad \int\left((1+x^2)^{-1/2}\cdot v (x)\right)' \,\,dx=\int\frac{3x}{(1+x^2)^{5/2}}\,\,dx\\
&\Leftrightarrow\quad\frac{v (x)}{ \sqrt{1+x^2}} =-\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} +c=\frac{c(1+x^2)^{2}-1}{(1+x^2)^{3/2}} \\
&\Leftrightarrow\quad v (x) =\frac{c(1+x^2)^{3/2}-1}{ 1+x^2 }\\
&\Leftrightarrow\quad 1=(c-1) \quad \Leftrightarrow\quad c=2\\
&\Leftrightarrow\quad v (x) =\frac{2(1+x^2)^{3/2}-1}{ 1+x^2 }\\
&\Leftrightarrow\quad y (x) = \pm\left(\frac{2(1+x^2)^{3/2}-1}{ 1+x^2 }\right)^2,\quad\mbox{poichè }\,\,v(x)\ge0\\
& y(x) =\left(\frac{2(1+x^2)^{3/2}-1}{ 1+x^2 }\right)^2.
\end{align*}
Grazie per la celere risposta e per la chiarezza, tuttavia non riesco a capire per quale motivo sostituiamo i valori della condizione iniziale nella funzione v(x) e non nella funzione y(x) dal momento che:
y(0)=1 e non v(0)=1...
y(0)=1 e non v(0)=1...
Leggi con attenzione ciò che ti ho scritto ....
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