Cos(nx) in forma chiusa

[Marcoxxx1]

Volevo chiedere una cosa che mi e' capitata provando a risolvere un esercizio (anche se in realta' sono gia' laureato da decenni , mi e' venuta voglia di provare a rifare alcuni esercizi dei miei libri di testo dell'epoca [ho 47 anni, mi sono laureato in ing. informatica V.O. nel 1998]); in particolare stavo provando a fare l'esercizio 32 pag 134 del libro Tom Apostol "Calcolo, volume primo: Analisi I" (anche se l'edizione che ho io e' vecchissima). Per come ho segnato gli esercizi pare che all'epoca in cui ero studente non fossi riuscito a risolverlo.

Ora, dopo vari calcoli ho trovato che riuscirei a risolvere l'esercizio se riuscissi a dimostrare che $ cos(nx)=2cos^2({nx}/2)-1 $ , almeno per $ x != 2mpi $ con m intero.

Il problema e' che non riesco a capire come si dimostra questa cosa (ammesso che l'uguaglianza sia sempre vera). In giro ho trovato molte formule che si rifanno alla formula di De Moivre o simili ma esprimono il cos(nx) come sommatorie di seni e/o coseni, non in funzione di frazioni dell'argomento. Anche la dimostrazione per induzione non riesco a farla (mi vengono calcoli molto complicati). Possibile che, se la formula e' vera, non esista un modo relativamente semplice per dimostrarla ?

[Marcoxxx1]

Ho risolto, grazie