Coseno iperbolico
Svolgendo un esercizio trovo questa uguaglianza
[tex]$\frac{2\cos(ni)}{1+e^{n}}=\frac{2\cosh(n)}{1+e^{n}}\sim \frac{e^{n}}{1+e^{n}}[/tex]
Vorrei capire da dove esce il coseno iperbolico e poi perché il coseno iperbolico è approssimabile con l'esponenziale.
Grazie.
[tex]$\frac{2\cos(ni)}{1+e^{n}}=\frac{2\cosh(n)}{1+e^{n}}\sim \frac{e^{n}}{1+e^{n}}[/tex]
Vorrei capire da dove esce il coseno iperbolico e poi perché il coseno iperbolico è approssimabile con l'esponenziale.
Grazie.
Risposte
Ok. Alla prima domanda mi sono risposto da solo basta applicare la definizione di coseno iperbolico e confrontarla con quella del coseno complesso. Adesso mi rimane da capire l'approssimazione
"maxsiviero":
Ok. Alla prima domanda mi sono risposto da solo basta applicare la definizione di coseno iperbolico e confrontarla con quella del coseno complesso. Adesso mi rimane da capire l'approssimazione
$cosh(x) = 1/2 ( e^x + e^(-x) ) sim e^x/2$ per $x -> +oo$
Giusto. Era abbastanza semplice. Bastava riflettere un po'. Grazie.
E' una semplice "applicazione" della formula di Eulero: puoi definire il coseno di un numero complesso come [tex]$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$[/tex], per cui se [tex]$z=in$[/tex] ricavi [tex]$\cos(in)=\frac{e^{-n}+e^{n}}{2}=\cosh(n)$[/tex]. Come vedi dalla definizione di coseno iperbolico, per [tex]$n\to+\infty$[/tex] si ha [tex]$\cosh(n)\sim\frac{e^n}{2}$[/tex].
EDIT: preceduto!
EDIT: preceduto!

@maxsiviero:
Veramente bastava verificare $lim_(x -> +oo ) (2 * cosh(x))/(e^x) = 1$.
L'equivalenza asintotica non è altro che questo...
Veramente bastava verificare $lim_(x -> +oo ) (2 * cosh(x))/(e^x) = 1$.
L'equivalenza asintotica non è altro che questo...