Cos'è un parametro "tauberiano"?
Ho provato a cercare su internet ma non ho molto poco e niente di preciso...Un libro che ho dice che inserisce un parametro tauberiano per valutare un integrale moltiplicando per un fattore esponenziale $e^{ax}$ la funzione integranda e poi facendo tendere nel risultato a a 0...CHe cavolo vuol dire??
Risposte
Supponiamo che io voglia conoscere il comportamento dell'integrale:
[tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x$[/tex]
pur non sapendolo calcolare eplicitamente (perchè non so integrare indefinitamente [tex]$f$[/tex], come capita sovente).
Mi accorgo, però, di poter conoscere più informazioni su un integrale più complicato, ossia:
[tex]$\int_a^b f(x)\ e^{\alpha x}\ \text{d} x$[/tex]
(perchè posso usare, ad esempio, metodi che non posso usare quando l'integrando contiene solo [tex]$f$[/tex]): ad esempio quest'ultimo integrale è del tipo [tex]$I(\alpha)$[/tex], ove [tex]$I(\cdot)$[/tex] è una certa funzione di cui conosco qualche informazione qualitativa abbastanza precisa al variare del parametro [tex]$\alpha$[/tex].
Come faccio a tornare all'integrale di partenza?
Embé, mi accorgo che per ogni [tex]$x\in [a,b]$[/tex] risulta [tex]$\lim_{\alpha \to 0} e^{\alpha x} =1$[/tex], quindi se riesco a passare al limite sotto al segno d'integrale trovo:
[tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x=\int_a^b f(x)\ \lim_{\alpha \to 0} e^{\alpha x}\ \text{d} x =\lim_{\alpha \to 0 }\int_a^b f(x)\ e^{\alpha x}\ \text{d} x =\lim_{\alpha \to 0} I(\alpha)$[/tex]
ed ho ottenuto quel che mi serviva. Quest'è.
L'aggettivo tauberiano deriva dal nome di un matematico slovacco, Alfred Tauber (morto in un campo di concentramento tedesco), e fu coniato da Hardy e Littlewood per denotare un certo tipo di teorema (vedasi qui) che, detto rozzamente, mette in relazione lo sviluppo asintotico delle somme parziali di una serie (o quello di un integrale) non assolutamente convergente con lo sviluppo asintotico della somma di una certa serie di potenze (o di un certo integrale dipendente da un parametro).
[tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x$[/tex]
pur non sapendolo calcolare eplicitamente (perchè non so integrare indefinitamente [tex]$f$[/tex], come capita sovente).
Mi accorgo, però, di poter conoscere più informazioni su un integrale più complicato, ossia:
[tex]$\int_a^b f(x)\ e^{\alpha x}\ \text{d} x$[/tex]
(perchè posso usare, ad esempio, metodi che non posso usare quando l'integrando contiene solo [tex]$f$[/tex]): ad esempio quest'ultimo integrale è del tipo [tex]$I(\alpha)$[/tex], ove [tex]$I(\cdot)$[/tex] è una certa funzione di cui conosco qualche informazione qualitativa abbastanza precisa al variare del parametro [tex]$\alpha$[/tex].
Come faccio a tornare all'integrale di partenza?
Embé, mi accorgo che per ogni [tex]$x\in [a,b]$[/tex] risulta [tex]$\lim_{\alpha \to 0} e^{\alpha x} =1$[/tex], quindi se riesco a passare al limite sotto al segno d'integrale trovo:
[tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x=\int_a^b f(x)\ \lim_{\alpha \to 0} e^{\alpha x}\ \text{d} x =\lim_{\alpha \to 0 }\int_a^b f(x)\ e^{\alpha x}\ \text{d} x =\lim_{\alpha \to 0} I(\alpha)$[/tex]
ed ho ottenuto quel che mi serviva. Quest'è.
L'aggettivo tauberiano deriva dal nome di un matematico slovacco, Alfred Tauber (morto in un campo di concentramento tedesco), e fu coniato da Hardy e Littlewood per denotare un certo tipo di teorema (vedasi qui) che, detto rozzamente, mette in relazione lo sviluppo asintotico delle somme parziali di una serie (o quello di un integrale) non assolutamente convergente con lo sviluppo asintotico della somma di una certa serie di potenze (o di un certo integrale dipendente da un parametro).
uhm...ma centra qualcosa con quel teorema? Ora lo guarderò con calma...Ora ho capito, più o meno, il più o meno è dovuto al fatto che qua non si chiede se sia possibile scambiare limite e integrale...è un libro di fisici infatti,...boh forse perchè lavora nello spazio delle distribuzioni temperate, vai a sapere...grazie cmq! 
Quando lavori con le distribuzioni è più o meno concesso tutto... 
già ma non ho mai capito perchè 
attendo la fine del corso di metodi matematici per la fisica 2 per scoprirlo 
attendo la fine del corso di metodi matematici per la fisica 2 per scoprirlo
Ma più o meno perchè la convergenza nel senso delle distribuzioni è quello più "loffio" che c'è, quindi viene tutto più facile...
Ehi, divertente la spiegazione del parametro tauberiano! Bravo Gugo.
Comunque sulla convergenza nel senso delle distribuzioni se ne leggono di grosse, eh. Spesso ho trovato frasi traducibili con
"e quindi, non volendo/sapendo giustificare questo risultato di convergenza, io autore dico che la convergenza è nel senso delle distribuzioni e sto a posto".
Per esempio, non ha nessun senso dire che una successione di numeri converge nel senso delle distribuzioni. Eppure quante volte si legge questa cosa!
Comunque sulla convergenza nel senso delle distribuzioni se ne leggono di grosse, eh. Spesso ho trovato frasi traducibili con
"e quindi, non volendo/sapendo giustificare questo risultato di convergenza, io autore dico che la convergenza è nel senso delle distribuzioni e sto a posto".
Per esempio, non ha nessun senso dire che una successione di numeri converge nel senso delle distribuzioni. Eppure quante volte si legge questa cosa!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo