Cos'è formalmente il dx della derivata e dell'integrale?
Come da titolo, vorrei sapere il significato formale del famoso \(\displaystyle dx \) che va messo per esempio dopo l'argomento dell'integrale o quando si indica la derivazione nel formato \(\displaystyle \frac{d}{dx} \).
Per esempio:
La prima espressione cosa significa formalmente? Conosco il significato intuitivo, so che il \(\displaystyle dx \) indica rispetto a quale variabile va fatta l'integrazione, ma formalmente che significa mettere quel \(\displaystyle dx \) lì? E se lo tolgo, come nella seconda espressione, cosa sto facendo formalmente? La seconda espressione ha un significato magari strambo o semplicemente non significa nulla (un po' come \(\displaystyle \frac{0}{0} \) se vogliamo)?
Stesso discorso per la derivazione:
Cosa significano (ripeto, formalmente) la prima e la seconda espressione?
Nel caso in cui la risposta alle mie domande dovesse essere un intero capitolo di teoria di analisi, accetto volentieri documenti di pagine e pagine da studiare, non ho mai capito cosa significhino quei simboli (ho già detto formalmente?).
Voglio ribadire che conosco il significato immediato di quello che ho scritto, mi interessa adesso andare più a fondo e capire per esempio come mai la scrittura \(\displaystyle \frac{d}{dx} \) venga usata per indicare la derivazione, come si arriva a quel risultato? Perché proprio \(\displaystyle \frac{d}{dx} \)?
Chiedo scusa per la ripetitività ma volevo essere chiaro.
Per esempio:
\(\displaystyle (1) \int f(x) dx \)
\(\displaystyle (2) \int f(x) \)
La prima espressione cosa significa formalmente? Conosco il significato intuitivo, so che il \(\displaystyle dx \) indica rispetto a quale variabile va fatta l'integrazione, ma formalmente che significa mettere quel \(\displaystyle dx \) lì? E se lo tolgo, come nella seconda espressione, cosa sto facendo formalmente? La seconda espressione ha un significato magari strambo o semplicemente non significa nulla (un po' come \(\displaystyle \frac{0}{0} \) se vogliamo)?
Stesso discorso per la derivazione:
\(\displaystyle (1) \frac{d}{dx} f(x) \)
\(\displaystyle (2) d f(x) \)
Cosa significano (ripeto, formalmente) la prima e la seconda espressione?
Nel caso in cui la risposta alle mie domande dovesse essere un intero capitolo di teoria di analisi, accetto volentieri documenti di pagine e pagine da studiare, non ho mai capito cosa significhino quei simboli (ho già detto formalmente?).
Voglio ribadire che conosco il significato immediato di quello che ho scritto, mi interessa adesso andare più a fondo e capire per esempio come mai la scrittura \(\displaystyle \frac{d}{dx} \) venga usata per indicare la derivazione, come si arriva a quel risultato? Perché proprio \(\displaystyle \frac{d}{dx} \)?
Chiedo scusa per la ripetitività ma volevo essere chiaro.
Risposte
Se n'è parlato millemila volte; prova a fare una ricerca.
Riassumendo in maniera molto stringata quello che è già stato detto altrove.
Riassumendo in maniera molto stringata quello che è già stato detto altrove.
- [*:1ah3e8mg] In contesti elementari come quelli proposti:
- [*:1ah3e8mg] il \(\text{d} x\) nell'integrale non significa nulla: è un simbolo che serve unicamente per tenere d'occhio la variabile rispetto alla quale si sta integrando;
[/*:m:1ah3e8mg]
[*:1ah3e8mg] il rapporto \(\frac{\text{d}}{\text{d} x}\) non significa nulla: è un simbolo come un altro per denotare l'operatore di derivazione (così come \({ }^\prime\) o \(\dot{ }\)), però ha il pregio di riuscire a far tener d'occhio la variabile rispetto alla quale si sta derivando.[/*:m:1ah3e8mg][/list:u:1ah3e8mg]
[/*:m:1ah3e8mg]
[*:1ah3e8mg] In altri contesti, meno elementari (e.g., Geometria Differenziale), il \(\text{d} x\) può essere usato per denotare "zozzerie" varie ed eventuali di cui non sto qui a discettare.[/*:m:1ah3e8mg][/list:u:1ah3e8mg]
Inoltre noto che le scritture \(\frac{\text{d}}{\text{d} x} f(x)\) ed \(\text{d} f(x)\) denotano due cose differenti: la prima denota la derivata di \(f\) nel punto \(x\) (che è un numero); la seconda il differenziale di \(f\) nel punto \(x\) (che è un'applicazione lineare).
"gugo82":
Inoltre noto che le scritture \( \frac{\text{d}}{\text{d} x} f(x) \) ed \( \text{d} f(x) \) denotano due cose differenti: la prima denota la derivata di \( f \) nel punto \( x \) (che è un numero); la seconda il differenziale di \( f \) nel punto \( x \) (che è un'applicazione lineare).
Ma le due scritture sono due operatori completamente diversi o magari il primo è una combinazione del secondo con qualcos'altro?
Mi spiego meglio: se \( \text{d} f(x) \) denota il differenziale di \( f \) nel punto \( x \), mi viene il dubbio che \( \frac{\text{d}}{\text{d} x} f(x) \) denoti il differenziale di \( f \) nel punto \( x \) diviso il differenziale di \( x \) (della funzione identità) nel punto \( x \), e ho pensato che le due cose insieme per magia corrispondano alla definizione di derivata, ma non che l'operatore \( \frac{\text{d}}{\text{d} x} f(x) \) stesso sia la definizione di derivata.
Non so se sono stato chiaro, sto dicendo stupidaggini?
"gugo82":
In altri contesti, meno elementari (e.g., Geometria Differenziale), il dx può essere usato per denotare "zozzerie" varie ed eventuali di cui non sto qui a discettare.
Sono proprio quelle le zozzerie che mi interessano
"zagamid":
[quote="gugo82"]
Inoltre noto che le scritture \( \frac{\text{d}}{\text{d} x} f(x) \) ed \( \text{d} f(x) \) denotano due cose differenti: la prima denota la derivata di \( f \) nel punto \( x \) (che è un numero); la seconda il differenziale di \( f \) nel punto \( x \) (che è un'applicazione lineare).
Ma le due scritture sono due operatori completamente diversi o magari il primo è una combinazione del secondo con qualcos'altro?
Mi spiego meglio: se \( \text{d} f(x) \) denota il differenziale di \( f \) nel punto \( x \), mi viene il dubbio che \( \frac{\text{d}}{\text{d} x} f(x) \) denoti il differenziale di \( f \) nel punto \( x \) diviso il differenziale di \( x \) (della funzione identità) nel punto \( x \), e ho pensato che le due cose insieme per magia corrispondano alla definizione di derivata, ma non che l'operatore \( \frac{\text{d}}{\text{d} x} f(x) \) stesso sia la definizione di derivata.
Non so se sono stato chiaro, sto dicendo stupidaggini?[/quote]
Formalmente sì; intuitivamente no.
Il differenziale di \(f\) in \(x\) è l'unica applicazione linare e continua \(L:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) tale che:
\[ \tag{1}
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)-L(h)}{h}=0\; .
\]
Come noto, le applicazioni lineari continue di \(\mathbb{R}\) in sé sono tutte e sole quelle del tipo:
\[
L(h):= \ell\cdot h\; ,
\]
ove \(\ell\) è un opportuno numero reale che rappresenta \(L\) (rispetto alla base canonica); pertanto il limite (1) si può riscrivere:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)-\ell\ h}{h}=0\; .
\]
Da qui si vede subito che \(\ell = f^\prime (x)\), dunque la derivata è lo scalare che rappresenta il differenziale di \(f\) in \(x\) ed il differenziale si scrive:
\[
L(h)=f^\prime (x)\ h\; ;
\]
se al posto del "neutro" simbolo \(L\) si usa qualcosa di più sensato che tenga traccia della funzione e del punto, la precedente si riscrive:
\[
\text{d} f(x; h) = f^\prime(x)\ h\; .
\]
"zagamid":
[quote="gugo82"]
In altri contesti, meno elementari (e.g., Geometria Differenziale), il dx può essere usato per denotare "zozzerie" varie ed eventuali di cui non sto qui a discettare.
Sono proprio quelle le zozzerie che mi interessano
[/quote]Prova a dare una scorsa a qualche libro di Geometria Differenziale di base... Ma alla fine sono simboli che vanno maneggiati in certi modi.
Parte delle risposte che cerchi si trova nella teoria delle forme differenziali.
Io sto trovando interessante Calculus on Manifolds di Spivak. Per una trattazione più "analitica" dai un occhio ai Principles di Rudin.
Comprendere a fondo questi argomenti non è proprio una passeggiata, io ci sto provando pian piano da autodidatta, ma seguire un corso sarebbe la strada migliore poichè il livello di astrazione è notevole!
Io sto trovando interessante Calculus on Manifolds di Spivak. Per una trattazione più "analitica" dai un occhio ai Principles di Rudin.
Comprendere a fondo questi argomenti non è proprio una passeggiata, io ci sto provando pian piano da autodidatta, ma seguire un corso sarebbe la strada migliore poichè il livello di astrazione è notevole!
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