Cosa vuol dire differenziare?
Ho un dubbio sul concetto di "differenziare una funzione", mi chiedo a conti fatti cosa voglia dire nella interpretazione naif di piccoli scostamenti (tipici della fisica).
Ho pensato che alla fine è questo procedimento in un caso concreto
$delta x^2=(x+deltax)^2-x^2=x^2+2x*deltax+deltax*deltax-x^2=2x*deltax+deltax*deltax$
in cui trascuro gli ordini superiori.
Ma alla fine dei conti cosa ho ottenuto? una sorta di linearizzazione in tal caso.
Ho pensato che alla fine è questo procedimento in un caso concreto
$delta x^2=(x+deltax)^2-x^2=x^2+2x*deltax+deltax*deltax-x^2=2x*deltax+deltax*deltax$
in cui trascuro gli ordini superiori.
Ma alla fine dei conti cosa ho ottenuto? una sorta di linearizzazione in tal caso.
Risposte
Il differenziale in un punto è la migliore approssimazione lineare di una funzione in tale punto.
Grazie per la tua risposta gugo82,
però quello che non comprendo bene è che il differenziale ovviamente lo è una approssimazione lineare, ma il differenziare è un po' altra cosa:
un esempio $dx^3=3x^2dx$ ossia: $(x+deltax)^3-x^3=x^3+3x^2deltax+3xdelta^2x+delta^3x-x^3$ trascurando gli ordini superiori, e questa non è una linearizzazione.
Voglio dire: il differenziaLe mi è abbastanza chiaro come concetto, ma il differenziaRe mi sembra altra cosa, ed è spesso usato per la fisica (o almeno spesso lo trovo) per approssimare appunto la crescita della funzione trascurando degli ordini superiori. Per incrementi piccoli, ovviamente.
Edit: typo
però quello che non comprendo bene è che il differenziale ovviamente lo è una approssimazione lineare, ma il differenziare è un po' altra cosa:
un esempio $dx^3=3x^2dx$ ossia: $(x+deltax)^3-x^3=x^3+3x^2deltax+3xdelta^2x+delta^3x-x^3$ trascurando gli ordini superiori, e questa non è una linearizzazione.
Voglio dire: il differenziaLe mi è abbastanza chiaro come concetto, ma il differenziaRe mi sembra altra cosa, ed è spesso usato per la fisica (o almeno spesso lo trovo) per approssimare appunto la crescita della funzione trascurando degli ordini superiori. Per incrementi piccoli, ovviamente.
Edit: typo
Infatti l'ultima espressione non è il differenziale della tua funzione.
Vorrei ringraziarti per avermi risposto ancora, per me è importante cercare di capire e mi rendoconto che sia tedioso. Però sto davvero cercando di ragionarci anche se non sembra, dato che dico scemenze a quanto vedo XD
Certamente non è il differenziale, pensavo esistesse un approssimare in quel modo.
Quindi in sostanza è solo con una funzione tipo $x^2$ che il differenziale (che per definizione è $f'(x_0)(x-x_0)$) coincide con l'operazione $deltax^2=(x+deltax)^2-x^2$.
Pensavo che in ogni caso, ad esempio anche con $x^3$ oltre al differenziale ci fosse la possibilità di approssimare prendendo la funzione in un punto $x$ e sottratta al $x+deltax$, ossia $(x+deltax)^3-x^3$ svolgendolo e trascorando gli ordini superiori portasse appunto a una approssimazione (anche non lineare ovviamente come scrivevo sopra).
Aquesto punto mi chiedo, perché trascurare gli ordini superiori (ossia i prodotti dei delta) non portano a una approssimazione anche in questo caso di x^3?
Edit: altro typo
Certamente non è il differenziale, pensavo esistesse un approssimare in quel modo.
Quindi in sostanza è solo con una funzione tipo $x^2$ che il differenziale (che per definizione è $f'(x_0)(x-x_0)$) coincide con l'operazione $deltax^2=(x+deltax)^2-x^2$.
Pensavo che in ogni caso, ad esempio anche con $x^3$ oltre al differenziale ci fosse la possibilità di approssimare prendendo la funzione in un punto $x$ e sottratta al $x+deltax$, ossia $(x+deltax)^3-x^3$ svolgendolo e trascorando gli ordini superiori portasse appunto a una approssimazione (anche non lineare ovviamente come scrivevo sopra).
Aquesto punto mi chiedo, perché trascurare gli ordini superiori (ossia i prodotti dei delta) non portano a una approssimazione anche in questo caso di x^3?
Edit: altro typo
No, nemmeno con $x^2$ l’espressione era giusta.
Il problema è che tu dici di voler “trascurare i termini d’ordine superiore”, ma poi te ne dimentichi.
Per $Delta(x^3)$ trovi $Delta(x^3) = 3x^2 *Delta x$, la quale, per l’appunto, è un’applicazione lineare nella variabile da cui dipende (che è $Delta x$ e non $x$, ovviamente).
Per qualche parola in più, vedi qui, §1.
Il problema è che tu dici di voler “trascurare i termini d’ordine superiore”, ma poi te ne dimentichi.
Per $Delta(x^3)$ trovi $Delta(x^3) = 3x^2 *Delta x$, la quale, per l’appunto, è un’applicazione lineare nella variabile da cui dipende (che è $Delta x$ e non $x$, ovviamente).
Per qualche parola in più, vedi qui, §1.
Forse con il tuo aiuto ci sono arrivato. L'errore è che anche nel caso di $x^3$ in effetti ottendndo $3x^2Deltax$ è lineare perché appunto la linearità è nel delta il $3x^2$ è in realtà un numero calcolato in $3x_0^2$ è una variabile in $x_0$.
Non ho però capito cosa intendi con me ne dimentico
$delta x^3=(x+deltax)^3-x^3=x^3+3x^2deltax+3xdelta^2x+delta^3x-x^3=3x^2deltax$
$delta x^2=(x+deltax)^2-x^2=x^2+2x*deltax+deltax*deltax-x^2=2x*deltax+deltax*deltax=2xdeltax$
l'idea era trascurarli così, che appunto mi porta al differenziale. Non li avevo solo scritti esplicitamente prima ma intendevo questo. Il punto è che non consideravo fossero:
$3x_0^2deltax$
$2x_0deltax$
per essere più espliciti, cioè per evidenziare che x_0 è fisso al variare di $Deltax$.
Spero di non aver detto altre cavolate
Non ho però capito cosa intendi con me ne dimentico
“trascurare i termini d’ordine superiore”, ma poi te ne dimentichi
$delta x^3=(x+deltax)^3-x^3=x^3+3x^2deltax+3xdelta^2x+delta^3x-x^3=3x^2deltax$
$delta x^2=(x+deltax)^2-x^2=x^2+2x*deltax+deltax*deltax-x^2=2x*deltax+deltax*deltax=2xdeltax$
l'idea era trascurarli così, che appunto mi porta al differenziale. Non li avevo solo scritti esplicitamente prima ma intendevo questo. Il punto è che non consideravo fossero:
$3x_0^2deltax$
$2x_0deltax$
per essere più espliciti, cioè per evidenziare che x_0 è fisso al variare di $Deltax$.
Spero di non aver detto altre cavolate
Ok, allora...
Ma tieni sempre presente una cosa: se dici una cosa e poi non scrivi la formula corrispondente, perde di consequenzialità il discorso, perché non riesci a vedere dove sei arrivato.
Ma tieni sempre presente una cosa: se dici una cosa e poi non scrivi la formula corrispondente, perde di consequenzialità il discorso, perché non riesci a vedere dove sei arrivato.
Ti ringrazi molto per il tuo fondamentale aiuto e la gentilezza. Cercherò di seguire questo tuo consiglio 
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