Correzioni 4

[Hajra]

La funzione è pari quindi ho fatto lo studio di una parte, va bene così??????

[ciampax]

Va bene risolvere solo per le x positive.

Positività: giusto, ma alla fine scrivi dove la funzione è positiva, se no sembra sempre che ti fermi a metà.

Asintoti: il fatto che

[math]\lim_{x\to 0} f(x)=-1[/math]

cosa implica? Che tipo di punto hai? Poi, hai calcolato giusto il limite ad infinito, ma non hai scritto quale sia l'equazione dell'asintoto orizzontale.

Derivata prima: corretta. E poi?

[Hajra]

la funzione è positiva

[math]e^{-1} < x< e[/math]

[math]lim_{x \rightarrow 0} f(x)= -1[/math]

implica k non c'è asintoto verticale

[math]lim_{x \rightarrow e^+} \frac{1+log|e|}{1-log|e|} = -\infty[/math]

[math]lim_{x \rightarrow e^-} \frac{1+log|e|}{1-log|e|} = +\infty[/math]

Asintoto orizzontale ha come equazione

[math](+\infty ; -1)[/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

allora adesso devo trovare i punti per il quale la derivata prima si annulla

[math]\frac{2}{x(1-lnx)^2} = 0[/math]

il denominatore non è mai = zero quindi questo vuol dire la derivata prima non si annulla mai e quindi non c'è ne massimi ne minimi.


Studio del segno:

[math]\frac{2}{x(1-lnx)^2} > 0 \\ x(1-lnx)^2 < 0[/math]

questa equazione non è mai < da 0.

Aggiunto 26 minuti più tardi:

Derivata 2°:

[math]f''(x) = \frac{0*x(1-lnx)^2 - 2*[(1-lnx)^2 + 2(1-lnx)]}{x(1-lnx)^4} \\= -\frac{2*(1-lnx)^2 + 4(1-lnx)}{x(1-lnx)^4}[/math]

Studio del segno:

[math]-\frac{2*(1-lnx)^2 + 4(1-lnx)}{x(1-lnx)^4} > 0[/math]

il meno d'avanti fa cambiare il segno quindi
[math]\frac{2*(1-lnx)^2 + 4(1-lnx)}{x(1-lnx)^4}< 0 \\ N: 2*(1-lnx)^2 + 4(1-lnx)

[ciampax]

La cosa che stai dicendo relativamente ai limiti è oscena, ti farei arrestare! :asd

Il limite per

[math]x\to 0[/math]

implica che hai un punto di discontinuità eliminabile. I limiti a

[math]x\to e[/math]

ti permettono di affermare che la retta

[math]x=e[/math]

è un asintoto verticale, mentre l'equazione dell'asintoto orizzontale è

[math]x=-1[/math]

. Devi ripeterti queste definizioni perché se non le ricordi, e non le scrivi giuste, risolvi tutto con un nulla di fatto, anche se sei riuscita a calcolare correttamente i limiti.

Non ho ben capito, o meglio forse hai scritto una cosa confusa, per la derivata: basta dire che, quando studi la derivata per

[math]x>0[/math]

questa risulta sempre positiva per la forma del denominatore e che, quindi, la funzione risulta sempre crescente.

Per la derivata seconda hai commesso un errore di segno: hai

[math]f''(x)=-\frac{2\cdot\left[(1-\ln x)^2+x\cdot 2(1-\ln x)\cdot(-1/x)\right]}{x^2(1-\ln x)^4}=-\frac{2(1-\ln x)(1-\ln x-2)}{x^2(1-\ln x)^4}[/math]

e quindi

[math]f''(x)=\frac{2(\ln x+1)}{x^2(1-\ln x)^3}[/math]

Risolvendo la disequazione si ha

[math]N:\ 2(\ln x+1)\ge 0\ \Rightarrow\ \ln x\ge -1\ \Rightarrow\ x\ge e^{-1}\\ D:\ x^2(1-\ln x)^3>0\ \Rightarrow\ 1-\ln x>0\ \Rightarrow\ x< e[/math]

e quindi

[math]f''(x)\ge 0\ \Rightarrow\ e^{-1}\le x < e[/math]

Ne segue che

[math]f(x)[/math]

è convessa su

[math](e^{-1}, e)[/math]

[math]f(x)[/math]

è concava su

[math](0,e^{-1})\cup(e,+\infty)[/math]

Ammette un flesso nel punto

[math]F(e^{-1}, 0)[/math]

[Hajra]

me lo puoi fare il grafico per favore, adesso non mi funziona + il cervello dato k 15 ore che sto studiando senza pausa quindi non mi entra più nnt :P

[ciampax]

Eccolo.

[Hajra]

grazieeee :)