Correzione svolgimento limite

[FrederichN.]

Ciao ragazzi ho un dubbio amletico riguardo questo limite


$lim_(x->1) (x^(1/(x-1)-e)/(x-1))$

Il mio svolgimento è questo:

Sostituisco x=y+1

Ottengo:

$lim_(y->0) ((y+1)^(1/y) -e)/y$

Mediante Hopital:

$lim_(y->0) (1+y)^(1/y) (y/(1+y) + ln(1+y))$

Sviluppo il logaritmo e sommo al secondo termine:

$lim_(y->0) (1+y)^(1/y) ((2y+y^2+o(y^2))/(1+y))$

Il quale tende a 0, cosa che in realtà non accade :S!
Aiuto!

[Seneca1]

"FrederichN.":

Il quale tende a 0, cosa che in realtà non accade :S!
Aiuto!

Cioè? In definitiva non è quello il valore del limite?

[FrederichN.]

Già .. Mathematica mi parla di -e/2 :O

[Seneca1]

"FrederichN.":
$lim_(y->0) (1+y)^(1/y) (y/(1+y) + ln(1+y))$

Forse hai derivato in modo errato il numeratore. Possibile?

[FrederichN.]

Controllato anche esso con math !

[Seneca1]

La derivata del numeratore è:

$ ( 1 + y )^(1/y) ( 1/(y(y+1)) - 1/y^2 * ln( 1 + y ) ) $

Il limite di questa funzione per $y -> 0$ è $- e/2$.

[Seneca1]

Se ti trovi scettico, ti posto i passaggi eseguiti con Derive.

[FrederichN.]

Sono un'idiota !

[salvozungri]

"FrederichN.":Ciao ragazzi ho un dubbio amletico riguardo questo limite


$lim_(x->1) (x^(1/(x-1)-e)/(x-1))$

Il mio svolgimento è questo:

Sostituisco x=y+1

Ottengo:

$lim_(y->0) ((y+1)^(1/y) -e)/y$

Arrivati a questo punto, non converrebbe passare a
[tex]$\lim_{y\to 0}e\left (\frac{e^{\frac{\log(y+1)}{y}-1}-1}{y}\right)[/tex]?

Poi osserva che [tex]\log(y+1)\sim y-\frac{y^2}{2}\, \text{ per }y\to 0 \implies \frac{\log(y+1)}{y}-1\sim -\frac{y}{2} ,[/tex]

Di conseguenza [tex]$\lim_{y\to 0}e \left(\frac{e^{\frac{\log(y+1)}{y}-1}-1}{y}\right)=\lim_{y\to 0}e\left(\frac{e^{-\frac{y}{2}}-1}{y}\right)[/tex]

Ora dovrebbe scattare il campanello d'allarme dei limiti notevoli