Correzione studio di funzione
Data $ f(x)= sqrt((|x-1|-1)/x^2) $ tracciarne il grafico e studiare la derivata destra e sinistra di f negli eventuali punti di non derivabilità
Intanto ho diviso la funzione in due funzioni
$ f_1(x)= sqrt((x-2)/x^2)$ per $x>=1$
$ f_2(x)=sqrt((-1)/x) $ per $x<1$
Il dominio di $f_1(x)$ è $x>=2$ mentre quello di $f_2(x)$ è $x<0$ , facendo l'unione quindi
$D_f(x) = x<0 V x>=2$
Non vi sono simmetrie quindi la funzione non è ne pari ne dispari.
Per lo studio del segno risulta subito $f(x) >=0$ per ogni x appartenente al dominio.
Intersezione con y=0:
${ ( y=0 ),( sqrt((|x-1|-1)/x^2)=0 ):} $
$|x-1|-1 = 0 -->x=2 V x=0 $
$x=0$ lo scarto e quindi punto di intersezione è P(2;0)
Limiti agli estremi del dominio
$ lim_(x -> +infty) sqrt((x-2)/x^2) =0^+ $
$ lim_(x -> -infty) sqrt((-1)/x) =0^- $
quindi y=0 asintoto orizzontale
$ lim_(x -> 0^-) sqrt(-(1)/x) =+infty $
$ lim_(x -> 0^+) sqrt((x-2)/x^2) =-infty $
x=0 asintoto verticale
$ lim_(x -> 2^+) sqrt((x-2)/x^2) =0 $
non è un asintoto.
Studio della derivata prima
1)Derivata di $f_1(x)= (4-x)/(2 sqrt((x-2)/x^2) x^3)$
la pongo maggiore uguale di 0
e risulta maggiore di 0 nell intervallo chiuso $[2;4]$ e minore di 0 dopo 4
quindi "4" potenziale punto di massimo,sostituendo in $f_1(x)$ trovo
$f_1(4)~= 0,35$
Q(4;0,35) massimo
2)Derivata di $f_2(x)=1/(2 sqrt(-1/x) x^2)$
che è maggiore di 0 per x<0
quiindi sempre crescente
Inoltre (2;0) è punto di minimo
(Lo studio della derivata seconda non mi è richiesto)
Per i punti di non derivabilità credo non ce ne siamo,mi sembra l'unico candidato sia "x=0" ma la funzione non è definita per x=0 quindi non ha senso parlare di derivabilità.
Potreste dare un occhiata allo studio della funzione e dirmi se è corretto?
questo è bene o male il grafico che è uscito fuori
Intanto ho diviso la funzione in due funzioni
$ f_1(x)= sqrt((x-2)/x^2)$ per $x>=1$
$ f_2(x)=sqrt((-1)/x) $ per $x<1$
Il dominio di $f_1(x)$ è $x>=2$ mentre quello di $f_2(x)$ è $x<0$ , facendo l'unione quindi
$D_f(x) = x<0 V x>=2$
Non vi sono simmetrie quindi la funzione non è ne pari ne dispari.
Per lo studio del segno risulta subito $f(x) >=0$ per ogni x appartenente al dominio.
Intersezione con y=0:
${ ( y=0 ),( sqrt((|x-1|-1)/x^2)=0 ):} $
$|x-1|-1 = 0 -->x=2 V x=0 $
$x=0$ lo scarto e quindi punto di intersezione è P(2;0)
Limiti agli estremi del dominio
$ lim_(x -> +infty) sqrt((x-2)/x^2) =0^+ $
$ lim_(x -> -infty) sqrt((-1)/x) =0^- $
quindi y=0 asintoto orizzontale
$ lim_(x -> 0^-) sqrt(-(1)/x) =+infty $
$ lim_(x -> 0^+) sqrt((x-2)/x^2) =-infty $
x=0 asintoto verticale
$ lim_(x -> 2^+) sqrt((x-2)/x^2) =0 $
non è un asintoto.
Studio della derivata prima
1)Derivata di $f_1(x)= (4-x)/(2 sqrt((x-2)/x^2) x^3)$
la pongo maggiore uguale di 0
e risulta maggiore di 0 nell intervallo chiuso $[2;4]$ e minore di 0 dopo 4
quindi "4" potenziale punto di massimo,sostituendo in $f_1(x)$ trovo
$f_1(4)~= 0,35$
Q(4;0,35) massimo
2)Derivata di $f_2(x)=1/(2 sqrt(-1/x) x^2)$
che è maggiore di 0 per x<0
quiindi sempre crescente
Inoltre (2;0) è punto di minimo
(Lo studio della derivata seconda non mi è richiesto)
Per i punti di non derivabilità credo non ce ne siamo,mi sembra l'unico candidato sia "x=0" ma la funzione non è definita per x=0 quindi non ha senso parlare di derivabilità.
Potreste dare un occhiata allo studio della funzione e dirmi se è corretto?
questo è bene o male il grafico che è uscito fuori
Risposte
ciao,
il punto di massimo che hai trovato è corretto.
è evidente che se $2\in I$, dove con $I$ intendo l'intervallo, allora hai già trovato un punto di discontinuità della derivata, ossia un punto di non derivabilità...
Svolgendo il $ lim_(x -> 2^{+}) = (4-x)/(2x^3*sqrt((x-2)/x^2)) =+ \infty $ ...
il punto di massimo che hai trovato è corretto.
1)Derivata di $f_{1}(x)=(4-x)/(2x^3*sqrt((x-2)/x^2))$
la pongo maggiore uguale di 0
e risulta maggiore di 0 nell intervallo chiuso [2;4]
è evidente che se $2\in I$, dove con $I$ intendo l'intervallo, allora hai già trovato un punto di discontinuità della derivata, ossia un punto di non derivabilità...
Svolgendo il $ lim_(x -> 2^{+}) = (4-x)/(2x^3*sqrt((x-2)/x^2)) =+ \infty $ ...
Grazie della risposta ma non riesco a capire.Potresti spiegarmi come fai a dire che in 2 c'è un punto di non derivabilità? Dovrei fare il limite destro e sinistro però il lim per x che tende a $2^-$ come faccio a farlo? la funzione non è definita tra 0 e 2
innanzitutto la funzione in x=2 esiste, come hai ricavato correttamente dal dominio.
La derivata prima della "prima" funzione (scusa la ripetizione), come puoi vedere non è definita in x=2.
Infatti il limite per $x$ che tende a $2^{+}$, ovvero che tende a 2 da destra tende a $+\infty$.
Pertanto sai già che in x=2 non è derivabile, visto che la derivata prima li non è continua...
La derivata prima della "prima" funzione (scusa la ripetizione), come puoi vedere non è definita in x=2.
Infatti il limite per $x$ che tende a $2^{+}$, ovvero che tende a 2 da destra tende a $+\infty$.
Pertanto sai già che in x=2 non è derivabile, visto che la derivata prima li non è continua...
Fai il limite destro della derivata, cioè per $x rarr 2 ^(+) $ , come ha fatto feddy e trovi che vale $+00 $ quindi la funzione dal punto $x=2 $ parte con tangente verticale
Grazie mille ad entrambi,tutto chiaro ora
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