Correzione Serie Geometrica

[otta96]

Sei sicuro che quella funzione si scriva così sfruttando lo sviluppo della serie geometrica?

[pilloeffe]

Ciao RobBobMob,

"RobBobMob":questo esercizio è risolto nel modo corretto :
$\sum_{k = 0}^{+\infty}a_n z^n=1/(1−5z^2) $

Calcolare $a_4 $

No, è errato già il testo dell'esercizio: l'indice di sommatoria deve essere $n $, non $k$
Hai commesso lo stesso errore poco dopo:

"RobBobMob":
$\sum_(k = \0)^(oo) a{::}_(\n)z^n = 1/ (1-5z^2) = (root()(5) * z)^k = 1+ (root()(5) * z)^1 +(root()(5) * z)^2+(root()(5) * z)^3 +(root()(5) * z)^4 $

"otta96":Sei sicuro che quella funzione si scriva così sfruttando lo sviluppo della serie geometrica?

Infatti...
Suggerimento:

$ 1/(1 - 5z^2) = 1/2 (1/(1 + sqrt5 z) + 1/(1 - sqrt5 z)) $

[pilloeffe]

Beh, si ha:

$ 1/(1 + sqrt5 z) = 1/(1 - (-sqrt5 z)) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-sqrt5 z)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (sqrt5 z)^n $

$ 1/(1 - sqrt5 z) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (sqrt5 z)^n $

Quindi si ha:

$ 1/(1 - 5z^2) = 1/2 (1/(1 + sqrt5 z) + 1/(1 - sqrt5 z)) = 1/2 [\sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (sqrt5 z)^n + \sum_{n = 0}^{+\infty} (sqrt5 z)^n] = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{1 + (-1)^n}{2} (sqrt5)^n z^n $

A questo punto non dovresti avere problemi a calcolare quanto ti è richiesto...

[otta96]

Quello che mi interessa di più farti notare è che la funzione è pari ma il tuo sviluppo no, quindi c'è qualcosa che non va.
Ora, puoi seguire il suggerimento di pilloeffe oppure più direttamente puoi dire: dato che $\sum_{n=0}^(+\infty) x^n=1/(1-x)$, si ha $1/(1-5x^2)=\sum_{n=0}^(+\infty) (5x^2)^n=\sum_{n=0}^(+\infty) 5^nx^(2n)=1+5x^2+25x^4+125x^6+625x^8+...$.