Correzione massimi e minimi vincolati
Salve,
potreste dirmi se, secondo voi, tale esercizio sta svolto bene? Dice:
Calcola i massimi e i minimi di $f(x,y) = 6-4y^2-3x^2$ sull'insieme $Q = {(x,y)| x^2 + y^2 <= 2}$.
"Prima domanda, sicuramente stupida. Se cita così, intende massimi e minimi assoluti e non relativi, vero?"
Comunque io ho svolto così:
Osservo prima di tutto che si tratta di una funzione continua su un insieme Compatto di $R^2$. Pertanto Weiestrass ci assicura dell'esistenza di una massimo e di un minimo, assoluti, di $f(x,y)$ sull'insieme $Q$.
Controllo prima eventuali punti stazionari interni a $Q$.
Le derivate parziali sono le seguenti:
$f'x (x,y) = -6x$ e $f'y (x,y) = -8y$. Il gradiente si annulla solo nel punto $P = (0,0)$ che è un punto interno a $Q$.
"Dato che non mi chiede punti estremanti relativi, non penso di fare l'Hessiana, ma valuto direttamente la funzione in tale punto appena trovato".
Pertanto si ha $f(0,0) = 6$. E lo tengo da parte.
Controllo i punti sul bordo, ossia sulla curva $x^2 + y^2 = 2$. La posso vedere come l'unione di due curve:
$c1$ definita come $y = sqrt(2-x^2)$ per ogni $x € [-sqrt(2), sqrt(2)]$, e la curva
$c2$ definita come $y = -sqrt(2-x^2)$ per ogni $x € [-sqrt(2), sqrt(2)]$.
Restringo ora la funzione prima a $c1$ poi a $c2$.
Studio, con gli strumenti di funzione a una variabile, i massimi e minimi della funzione ristretta a $c1$ e ottengo tali punti:
$P1 = (0, sqrt(2))$, per il quale la funzione vale $f(x,y) = -2$
$P2 = (sqrt(2), 0$ e $P3 = (-sqrt(2), 0)$, per i quali la funzione vale $f(x,y) = 0$.
La funzione ristretta alla curva $c2$ mi restituisce gli stessi punti.
Pertanto posso concludere che il massimo su $Q$ della funzione è 6 e il minimo è -2.
Potreste aiutarmi a capire se sta bene?
Grazie
potreste dirmi se, secondo voi, tale esercizio sta svolto bene? Dice:
Calcola i massimi e i minimi di $f(x,y) = 6-4y^2-3x^2$ sull'insieme $Q = {(x,y)| x^2 + y^2 <= 2}$.
"Prima domanda, sicuramente stupida. Se cita così, intende massimi e minimi assoluti e non relativi, vero?"
Comunque io ho svolto così:
Osservo prima di tutto che si tratta di una funzione continua su un insieme Compatto di $R^2$. Pertanto Weiestrass ci assicura dell'esistenza di una massimo e di un minimo, assoluti, di $f(x,y)$ sull'insieme $Q$.
Controllo prima eventuali punti stazionari interni a $Q$.
Le derivate parziali sono le seguenti:
$f'x (x,y) = -6x$ e $f'y (x,y) = -8y$. Il gradiente si annulla solo nel punto $P = (0,0)$ che è un punto interno a $Q$.
"Dato che non mi chiede punti estremanti relativi, non penso di fare l'Hessiana, ma valuto direttamente la funzione in tale punto appena trovato".
Pertanto si ha $f(0,0) = 6$. E lo tengo da parte.
Controllo i punti sul bordo, ossia sulla curva $x^2 + y^2 = 2$. La posso vedere come l'unione di due curve:
$c1$ definita come $y = sqrt(2-x^2)$ per ogni $x € [-sqrt(2), sqrt(2)]$, e la curva
$c2$ definita come $y = -sqrt(2-x^2)$ per ogni $x € [-sqrt(2), sqrt(2)]$.
Restringo ora la funzione prima a $c1$ poi a $c2$.
Studio, con gli strumenti di funzione a una variabile, i massimi e minimi della funzione ristretta a $c1$ e ottengo tali punti:
$P1 = (0, sqrt(2))$, per il quale la funzione vale $f(x,y) = -2$
$P2 = (sqrt(2), 0$ e $P3 = (-sqrt(2), 0)$, per i quali la funzione vale $f(x,y) = 0$.
La funzione ristretta alla curva $c2$ mi restituisce gli stessi punti.
Pertanto posso concludere che il massimo su $Q$ della funzione è 6 e il minimo è -2.
Potreste aiutarmi a capire se sta bene?
Grazie
Risposte
qualcuno potrebbe aiutarmi?
Direi che va bene
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo