Correzione limite

[thinking of you]

Salve ragazzi. Vi propongo la mia soluzione al seguente limite. Vorrei sapere se ho operato correttamente:

$lim_(x->0)(e^((1-cosx)/x^2)-sqrt(e))/tanx$ = $lim_(x->0)((e^((1-cosx)/x^2)-1+1-sqrt(e))/((tanx)(1-cosx/x^2))(1-cosx/x^2))$ = $lim_(x->0)(1/tanx)[(e^((1-cosx)/x^2)-1)/((1-cosx)/x^2)+(1-sqrt(e))/((1-cosx)/x^2)]((1-cosx)/x^2)$ = $lim_(x->0)(1/tanx)(1+(1-sqrt(e))/(1/2))(1/2)$

Dato che il numeratore è positivo, e che la tangente in 0 vale 0, il limite è $+oo$ o $-oo$ a seconda che la x tenda a $0^+$ o $0^-$.


Giusto?

Il risultato mi esce simile anche con Taylor.


Grazie della pazienza.

PS che casino scrivere tutto in codice!

[Seneca1]

"thinking of you":Salve ragazzi. Vi propongo la mia soluzione al seguente limite. Vorrei sapere se ho operato correttamente:

$lim_(x->0)(e^((1-cosx)/x^2)-sqrt(e))/tanx$ = $lim_(x->0)((e^((1-cosx)/x^2)-1+1-sqrt(e))/((tanx)(1-cosx/x^2))(1-cosx/x^2))$ = $lim_(x->0)(1/tanx)[(e^((1-cosx)/x^2)-1)/((1-cosx)/x^2)+(1-sqrt(e))/((1-cosx)/x^2)]((1-cosx)/x^2)$ = $lim_(x->0)(1/tanx)(1+(1-sqrt(e))/(1/2))(1/2)$

Dato che il numeratore è positivo, e che la tangente in 0 vale 0, il limite è $+oo$ o $-oo$ a seconda che la x tenda a $0^+$ o $0^-$.


Giusto?

Il risultato mi esce simile anche con Taylor.


Grazie della pazienza.

PS che casino scrivere tutto in codice!

Non so, intravedo in questo limite questo:

...$(e^((1-cosx)/x^2)-1)/((1-cosx)/x^2)$...

Attento/a che questa cosa qui non tende mica ad $1$.

Non puoi applicare il limite notevole $( e^(f(x)) - 1)/(f(x))$ se non hai $f(x) -> 0$.

[thinking of you]

Cavolo è vero!! Mannaggia alle volte si fanno le cose meccanicamente, sbagliando.

Ehm...

e in questi casi come si procede? Cioè, f(x) tenda ad 1/2 in questo caso, quindi, volendo applicare i limiti notevoli come si fa? O se non si può come potrei proseguire?

Giusto per farmi un'idea. Non mi viene in mente nessuna strategia al momento.

[Seneca1]

Mmmh...

Considera il limite di partenza:


$lim_(x->0)(e^((1-cosx)/x^2)-sqrt(e))/tanx$

Dividendo numeratore e denominatore per $x$:


$lim_(x->0)((e^((1-cosx)/x^2)-sqrt(e))/x)/(tan(x)/x)$

Il denominatore tende a $1$ ed il numeratore si presenta in forma indeterminata. Quindi ti basta calcolare:

$lim_(x->0) (e^((1-cosx)/x^2)-sqrt(e))/x$

Che è tanto come dire $tan(x) sim x$ ($sim$ è l'equivalenza locale), eheh.

A questo punto applicherei De L'Hospital.

[Seneca1]

Oppure, ancora meglio:

$e^((1-cosx)/x^2)$

$1-cosx = x^2/(2!) - x^4/(4!) + x^6/(6!) + o(x^6)$


$(1-cosx)/x^2 = 1/2 - x^2/(4!) + o(x^2)$

Quindi...

[thinking of you]

Quindi avrò $lim_(x->0)(e^((1/2)-(x^2/(4!)))-sqrt(e))/(x)$ = $lim_(x->0)(e^(-x^2/4!))/(x)$ Che fa $1/0$, quindi il limite è + o - infinito.


Giusto?

[thinking of you]

Devo proprio riprendere la mano. Mi viene infinito, comunque.

Avreste altre idee??


Grazie,

Mattia.