Correzione integrale indefinito
Salve vorrei mi correggeste questo integrale:
$ int_( )^( )x^2e^x dx $
inizio per parti e quindi:
$f(x)=x^2 rArr f'(x)=2x$
$g'(x)=e^x rArr g(x)=e^x$
applico la formula: $int_( )^( )f(x)*g(x)=f(x)*g(x)-f'(x)*g(x)$ quindi:
$x^2e^x-int_( )^( )2xe^x
rivado per parti :
$f(x)=2x rArr f'(x)=2$
$g'(x)=e^x rArr g(x)=e^x$
riapplicando la formula mi viene:
$x^2e^x-(2xe^x-int_()^()2e^x)=x^2e^x-2xe^x+2int_()^()e^x=x^2e^x-2xe^x+2e^x=e^x(x^2-2x+2)$
l'esercizio è fatto bene?poi è finito o c'è qualcos'altro da fare?
ringrazio anticipatamente tutti per la disponibilità
$ int_( )^( )x^2e^x dx $
inizio per parti e quindi:
$f(x)=x^2 rArr f'(x)=2x$
$g'(x)=e^x rArr g(x)=e^x$
applico la formula: $int_( )^( )f(x)*g(x)=f(x)*g(x)-f'(x)*g(x)$ quindi:
$x^2e^x-int_( )^( )2xe^x
rivado per parti :
$f(x)=2x rArr f'(x)=2$
$g'(x)=e^x rArr g(x)=e^x$
riapplicando la formula mi viene:
$x^2e^x-(2xe^x-int_()^()2e^x)=x^2e^x-2xe^x+2int_()^()e^x=x^2e^x-2xe^x+2e^x=e^x(x^2-2x+2)$
l'esercizio è fatto bene?poi è finito o c'è qualcos'altro da fare?
ringrazio anticipatamente tutti per la disponibilità
Risposte
Impeccabile 
"pater46":
Impeccabile
grazie grosso sollievo visto ke domani ho l'esame ^^
Buonasera,
Leggendo questo thread, non ho potuto non notare la tipologia di funzione integranda che e' stata proposta.
Eseguendo piu' volte questa tipologua di integrale, Mi e' saltata all'occhio una soluzione piu' rapida per la risoluzione immediata di un integrale del genere:
Parlo degli integrali indefiniti del tipo $int x^n e^xdx$ con $n in NN , n>=1$
Il metodo di risoluzione piu' comune e' quello per parti, che rende risultati del tipo di quello scritto quache post qui sopra.
Prendendo in considerazione l'iterazione di questo metodo per n volte, si otterra' un espansione logica del risultato:
$int x^n e^xdx = e^x [x^n - nx^(n-1) + (n*(n-1))x^(n-2) - (n*(n-1)*(n-2)x^(n-3) + ...$
$... -+ (n*(n-1)*(n-2)*...* (n-(n-1)))x^(n-(n-1)) +- n!x^0] +c$
Nota: Il segno del primo termine (con esponente uguale ad n) e' sempre positivo. I successivi si alternano fino ad arrivare all'ultimo.
Questa piccola formuletta e' dimostrabile per induzione (credo
).
l'integrale di Brumir82 la rispetta a pieno:
$int x^2e^xdx = e^x[x^2-2x^1+2] +c$
Esempi di prova:
$int x^1e^xdx = e^x [x-1] +c$
$int x^3e^xdx = e^x [x^3-3x^2+6x-6] +c$
$int x^5e^x dx = e^x [x^5-5x^4+20x^3-60x^2+120x-120] +c$
e cosi' via...
Questo insolito integrale notevole puo' risultare molto utile in parecchi casi
Leggendo questo thread, non ho potuto non notare la tipologia di funzione integranda che e' stata proposta.
Eseguendo piu' volte questa tipologua di integrale, Mi e' saltata all'occhio una soluzione piu' rapida per la risoluzione immediata di un integrale del genere:
Parlo degli integrali indefiniti del tipo $int x^n e^xdx$ con $n in NN , n>=1$
Il metodo di risoluzione piu' comune e' quello per parti, che rende risultati del tipo di quello scritto quache post qui sopra.
Prendendo in considerazione l'iterazione di questo metodo per n volte, si otterra' un espansione logica del risultato:
$int x^n e^xdx = e^x [x^n - nx^(n-1) + (n*(n-1))x^(n-2) - (n*(n-1)*(n-2)x^(n-3) + ...$
$... -+ (n*(n-1)*(n-2)*...* (n-(n-1)))x^(n-(n-1)) +- n!x^0] +c$
Nota: Il segno del primo termine (con esponente uguale ad n) e' sempre positivo. I successivi si alternano fino ad arrivare all'ultimo.
Questa piccola formuletta e' dimostrabile per induzione (credo
).l'integrale di Brumir82 la rispetta a pieno:
$int x^2e^xdx = e^x[x^2-2x^1+2] +c$
Esempi di prova:
$int x^1e^xdx = e^x [x-1] +c$
$int x^3e^xdx = e^x [x^3-3x^2+6x-6] +c$
$int x^5e^x dx = e^x [x^5-5x^4+20x^3-60x^2+120x-120] +c$
e cosi' via...
Questo insolito integrale notevole puo' risultare molto utile in parecchi casi
Beh, certo Panda.
Tutto può essere ricavato dalla formula ricorrente:
[tex]$I_n=x^n\ e^x-n\ I_{n-1}$[/tex]
ove [tex]$I_n:=\int x^n\ e^x \ \text{d} x$[/tex].
La forma chiusa per [tex]$I_n$[/tex] dovrebbe essere:
[tex]$I_n=e^x\ \sum_{h=0}^n (-1)^h\ \frac{n!}{(n-h)!}\ x^{n-h} + \text{cost}$[/tex].
Tutto può essere ricavato dalla formula ricorrente:
[tex]$I_n=x^n\ e^x-n\ I_{n-1}$[/tex]
ove [tex]$I_n:=\int x^n\ e^x \ \text{d} x$[/tex].
La forma chiusa per [tex]$I_n$[/tex] dovrebbe essere:
[tex]$I_n=e^x\ \sum_{h=0}^n (-1)^h\ \frac{n!}{(n-h)!}\ x^{n-h} + \text{cost}$[/tex].
Certo, affidarsi a queste formule in sede d'esame mi sembra un po' complicato ...
"pier.armeli":
Certo, affidarsi a queste formule in sede d'esame mi sembra un po' complicato ...
Ovvio.
Questi non sono "risultati da esame"; piuttosto sono utili esercizi su come maneggiare le formule di ricorrenza.
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